Un vector es un segmento direccional, es decir, un segmento que tiene una longitud y una dirección específica. Gráficamente, los vectores se representan como segmentos de línea recta dirigidos de cierta longitud.
Considere dos puntos arbitrarios. Si conecta estos puntos con una flecha (Fig.1),
Figura 1
luego obtenemos un vector .
El punto desde el que sale la flecha se llama comienzo del vector . El punto en el que entra la flecha se llama final del vector .
Para distinguir un vector de un segmento con extremos en los mismos puntos, use la notación 
(Fig. 2) o 
(Fig. 3).
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| Figura 2 | Fig. 3 |
A veces, las designaciones se utilizan para un vector 
(Fig. 4) o 
(Fig. 5).
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| Figura 4 | Figura 5 |
Si dos puntos (el principio y el final del vector) coinciden , entonces dicen que estos puntos definen el vector cero.
Coordenadas vectoriales
Considere un vector arbitrario y suponga que un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas Oxyz está dado en el espacio (Fig. 6).
Figura 6
Si en el sistema de coordenadas Oxyz los puntos A y B tienen coordenadas
| A = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) y B = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ), | (1) |
entonces las coordenadas del vector son el conjunto de números
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(2) |
Esta definición a menudo se formula de la siguiente manera : «Para encontrar las coordenadas de un vector, es necesario restar las coordenadas del comienzo del vector de las coordenadas del final del vector».
Observación . En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en un determinado plano de coordenadas , no habrá terceras coordenadas en las fórmulas (1) y (2) . Si consideramos los vectores que se encuentran en alguna línea de coordenadas , entonces solo las primeras coordenadas permanecen en las fórmulas (1) y (2) .
Longitud del vector
La longitud (módulo) de un vector arbitrario es la longitud del segmento AB
La longitud de un vector cuyas coordenadas son
calculado por la fórmula
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(3) |
Este hecho se formula a menudo de la siguiente manera : «La longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas».
Observación . En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en el plano de coordenadas , la fórmula (3) toma la forma
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(4) |
y coincide con la fórmula que le permite encontrar la distancia entre dos puntos del plano de coordenadas.
En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en la línea de coordenadas , las fórmulas (3) y (4) toman la forma
…
Igualdad de vectores
Los vectores se denominan vectores colineales si se encuentran en una línea recta o en líneas paralelas .
Dos vectores
y 
son vectores colineales si y solo si sus coordenadas son proporcionales .
En otras palabras, los vectores son colineales si y solo si existe un número real t tal que las igualdades
una 1 = tb 1 , una 2 = tb 2 , una 3 = tb 3 .
Dos vectores se denominan codireccionales si, en primer lugar, son colineales y, en segundo lugar, están dirigidos como se muestra en la Figura 7.
En otras palabras, si combina los orígenes de estos vectores, estarán en una línea recta, mientras que estarán dirigidos en una dirección (los extremos de los vectores estarán en un rayo).
Figura 7
Dos vectores se denominan de dirección opuesta si, en primer lugar, son colineales y, en segundo lugar, se dirigen como se muestra en la Figura 8.
En otras palabras, si combina los orígenes de estos vectores, entonces estarán en la misma línea recta, mientras que se dirigirán en diferentes direcciones (los extremos de los vectores estarán en lados opuestos de su origen común).
Figura 8
Definición . Dos vectores son iguales si, en primer lugar, son codireccionales y, en segundo lugar, tienen la misma longitud .
En otras palabras, si combina los comienzos de estos vectores, sus extremos coincidirán.
Observación . Dos vectores son iguales si y solo si sus conjuntos de coordenadas coinciden .
Multiplicar un vector por un número
Como resultado de multiplicar cualquier vector por cualquier número real k , se obtiene un vector 
que cumple las siguientes condiciones:
- Para k > 0, el vector está
codirigido con el vector ; - Para k <0, el vector es opuesto al vector ;
- La longitud del vector es igual a la longitud del vector multiplicada por el número | k |.
Si el vector tiene coordenadas
entonces el vector tiene coordenadas
En otras palabras, si un vector se multiplica por un número, entonces todas sus coordenadas se multiplican por este número .
Suma y resta de vectores
Con el fin de encontrar la suma de dos vectores arbitrarios y 
es necesario combinar el comienzo del vector con el extremo del vector . Entonces, el comienzo del vector 
será el comienzo del vector y el final del vector será el final del vector (Fig. 9).
Figura 9
Además, si
y
luego
Este hecho es a menudo formula como sigue : «Cuando se añaden vectores, son sus coordenadas añaden .»
Para encontrar la diferencia de dos vectores arbitrarios y necesita usar la fórmula
La operación de restar dos vectores se muestra claramente en la Figura 10.
Figura 10
Además, si
y
luego
Este hecho a menudo se formula de la siguiente manera : «Para encontrar las coordenadas de un vector 
, es necesario restar las coordenadas del vector de las coordenadas del vector «.
Producto escalar de vectores
Definición . El producto escalar de los vectores y , que se denota 
como un número igual al producto de las longitudes de los vectores y multiplicado por el coseno del ángulo entre estos vectores (Fig. 11).
Figura 11
De este modo,
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(cinco) |
La fórmula (5) implica la relación
que se puede formular de la siguiente manera : «El módulo del vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo».
Corolario 1 . El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si estos vectores son perpendiculares .
Aprobación . Si en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas los vectores tienen coordenadas
| y |
(6) |
entonces su producto escalar se expresa mediante la fórmula :
 |
(7) |
En otras palabras, en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de estos vectores.
Observación . Conociendo las coordenadas de los vectores (6), de las fórmulas (3), (5) y (7), se puede encontrar el coseno del ángulo entre los vectores y
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(8) |
Ejemplos de resolución de problemas
Ejemplo 1 . ¿A qué valores del parámetro p están los vectores 
y la 
perpendicular?
Solución . Usando la fórmula (7), obtenemos
Respuesta : 4.
Ejemplo 2 . ¿Para qué valores de los parámetros α y β son los vectores (α; – 2; 5) y (1; β; – 4) colineales ?
Solución . Los vectores, en virtud de lo anterior, son colineales si y solo si hay un número real t tal que se cumplan las siguientes igualdades:
Respuesta : 
.
Ejemplo 3 . Las longitudes de los vectores y son iguales a 2 y 1, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 60 °. Calcula la longitud del vector .
Solución . Considere la Figura 12.
Figura 12
Usando el teorema del coseno , obtenemos
Respuesta : 
.
Ejemplo 4 . Las longitudes de los vectores y son iguales a 3 y 1, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 60 °. Calcula la longitud del vector .
Solución . Considere la Figura 13.
Figura 13
Usando el teorema del coseno , obtenemos
Respuesta : 
.
Ejemplo 5 . Encuentre el ángulo entre los vectores (3; 6; 2) y (4; 7; 4) .
Solución . Usando la fórmula (8), obtenemos
Respuesta : 
.