Saltar al contenido

Vectores – Concepto de vector

Un vector es un segmento direccional, es decir, un segmento que tiene una longitud y una dirección específica. Gráficamente, los vectores se representan como segmentos de línea recta dirigidos de cierta longitud. 

Considere dos puntos arbitrarios. Si conecta estos puntos con una flecha (Fig.1),

Concepto de vector

Figura 1

luego obtenemos un vector .

      El punto desde el que sale la flecha se llama comienzo del vector . El punto en el que entra la flecha se llama final del vector .

      Para distinguir un vector de un segmento con extremos en los mismos puntos, use la notación   Concepto de vector   (Fig. 2) o   Concepto de vector   (Fig. 3).

Concepto de vector Concepto de vector
Figura 2 Fig. 3

      A veces, las designaciones se utilizan para un vector   Concepto de vector   (Fig. 4) o   Concepto de vector   (Fig. 5).

Concepto de vector Concepto de vector
Figura 4 Figura 5

      Si dos puntos (el principio y el final del vector) coinciden , entonces dicen que estos puntos definen el vector cero.

Coordenadas vectoriales

      Considere un vector arbitrario   Concepto de vector   y suponga que un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas   Oxyz está dado en el espacio   (Fig. 6).

Coordenadas vectoriales

Figura 6

      Si en el sistema de coordenadas   Oxyz los   puntos   A   y   B   tienen coordenadas

A  = ( 1 ;  2 ;  3 ) y       B  = ( 1 ;  2 ;  3 ), (1)

entonces las coordenadas del vector   Coordenadas vectoriales   son el conjunto de números

Coordenadas vectoriales (2)

      Esta definición a menudo se formula de la siguiente manera : «Para encontrar las coordenadas de un vector, es necesario restar las coordenadas del comienzo del vector de las coordenadas del final del vector».

      Observación . En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en un determinado plano de coordenadas , no habrá terceras coordenadas en las fórmulas (1) y (2) . Si consideramos los vectores que se encuentran en alguna línea de coordenadas , entonces solo las primeras coordenadas permanecen en las fórmulas (1) y (2) .

Longitud del vector

      La longitud (módulo) de un vector   arbitrario Longitud del vector   es la longitud del segmento   AB

      La longitud de un vector   Longitud del módulo vectorialcuyas coordenadas son

Longitud del módulo vectorial

calculado por la fórmula

Longitud del módulo vectorial (3)

      Este hecho se formula a menudo de la siguiente manera : «La longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas».

      Observación . En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en el plano de coordenadas , la fórmula (3) toma la forma

Longitud del módulo vectorial (4)

y coincide con la fórmula que le permite encontrar la distancia entre dos puntos del plano de coordenadas.

      En el caso de que se consideren los vectores que se encuentran en la línea de coordenadas , las fórmulas (3) y (4) toman la forma

Longitud del módulo vectorial

Igualdad de vectores

      Los vectores se denominan vectores colineales si se encuentran en una línea recta o en líneas paralelas .

      Dos vectores

Igualdad de vectores      y       Igualdad de vectores

son vectores colineales si y solo si sus coordenadas son proporcionales .

      En otras palabras, los vectores son colineales si y solo si existe un número real t tal que las igualdades

una 1 = tb 1 ,       una 2 = tb 2 ,       una 3  =  tb 3 .

      Dos vectores se denominan codireccionales si, en primer lugar, son colineales y, en segundo lugar, están dirigidos como se muestra en la Figura 7.

      En otras palabras, si combina los orígenes de estos vectores, estarán en una línea recta, mientras que estarán dirigidos en una dirección (los extremos de los vectores estarán en un rayo).

Coordenadas vectoriales

Figura 7

      Dos vectores se denominan de dirección opuesta si, en primer lugar, son colineales y, en segundo lugar, se dirigen como se muestra en la Figura 8.

      En otras palabras, si combina los orígenes de estos vectores, entonces estarán en la misma línea recta, mientras que se dirigirán en diferentes direcciones (los extremos de los vectores estarán en lados opuestos de su origen común).

Coordenadas vectoriales

Figura 8

      Definición . Dos vectores son iguales si, en primer lugar, son codireccionales y, en segundo lugar, tienen la misma longitud .

      En otras palabras, si combina los comienzos de estos vectores, sus extremos coincidirán.

      Observación . Dos vectores son iguales si y solo si sus conjuntos de coordenadas coinciden .

Multiplicar un vector por un número

      Como resultado de multiplicar cualquier vector   Multiplicar un vector por un número   por cualquier número real   k   , se obtiene un vector   Multiplicar un vector por un númeroque cumple las siguientes condiciones:

  1. Para   k  > 0, el   vector está   Multiplicar un vector por un número   codirigido con el vector   Multiplicar un vector por un número;
  2. Para   k  <0, el   vector es   Multiplicar un vector por un número   opuesto al vector   Multiplicar un vector por un número;
  3. La longitud del vector   Multiplicar un vector por un número   es igual a la longitud del vector   Multiplicar un vector por un númeromultiplicada por el número   | k |.

      Si el vector   Multiplicar un vector por un número   tiene coordenadas

Igualdad de vectores

entonces el vector   Multiplicar un vector por un número   tiene coordenadas

Igualdad de vectores

      En otras palabras, si un vector se multiplica por un número, entonces todas sus coordenadas se multiplican por este número .

Suma y resta de vectores

      Con el fin de encontrar la suma de dos vectores arbitrarios   Suma y resta de vectores   y   Suma y resta de vectores   es necesario combinar el comienzo del vector   Suma y resta de vectores   con el extremo del vector   Suma y resta de vectores. Entonces, el comienzo del vector   Suma y resta de vectores   será el comienzo del vector   Suma y resta de vectoresy el final del vector   Suma y resta de vectores   será el final del vector   Suma y resta de vectores   (Fig. 9).

Suma y resta de vectores

Figura 9

      Además, si

Suma y resta de vectores      y       Suma y resta de vectores

luego

Suma y resta de vectores

      Este hecho es a menudo formula como sigue : «Cuando se añaden vectores, son sus coordenadas añaden .»

      Para encontrar la diferencia de dos vectores arbitrarios   Suma y resta de vectores   y   Suma y resta de vectores   necesita usar la fórmula

Suma y resta de vectores

      La operación de restar dos vectores se muestra claramente en la Figura 10.

Suma y resta de vectores

Figura 10

      Además, si

Suma y resta de vectores      y       Suma y resta de vectores

luego

Suma y resta de vectores

      Este hecho a menudo se formula de la siguiente manera : «Para encontrar las coordenadas de un vector   Suma y resta de vectores, es necesario Suma y resta de vectores   restar las coordenadas del vector   de las coordenadas del vector   Suma y resta de vectores«.

Producto escalar de vectores

      Definición . El producto escalar de los vectores   Producto escalar de vectores   y   Producto escalar de vectores, que se denota   Producto escalar de vectores   como un número igual al producto de las longitudes de los vectores   Producto escalar de vectores   y   Producto escalar de vectoresmultiplicado por el coseno del ángulo entre estos vectores (Fig. 11).

Suma y resta de vectores

Figura 11

      De este modo,

Producto escalar de vectores (cinco)

      La fórmula (5) implica la relación

Producto escalar de vectores

que se puede formular de la siguiente manera : «El módulo del vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo».

      Corolario 1 . El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si estos vectores son perpendiculares .

      Aprobación . Si en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas los vectores tienen coordenadas

Producto escalar de vectores      y       Producto escalar de vectores (6)

entonces su producto escalar se expresa mediante la fórmula :

Producto escalar de vectores (7)

      En otras palabras, en un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de estos vectores.

      Observación . Conociendo las coordenadas de los vectores (6), de las fórmulas (3), (5) y (7), se puede encontrar el coseno del ángulo entre los vectores   Producto escalar de vectores    y   Producto escalar de vectores

Producto escalar de vectores (8)

Ejemplos de resolución de problemas

      Ejemplo 1 . ¿A qué valores del parámetro   p   están los vectores   Vectores solucion de problemas   y la   Vectores solucion de problemas   perpendicular?

      Solución . Usando la fórmula (7), obtenemos

Vectores solucion de problemas

      Respuesta : 4.

      Ejemplo 2 . ¿Para qué valores de los parámetros   α   y   β   son los vectores   (α; – 2; 5)   y   (1; β; – 4)   colineales ?

      Solución . Los vectores, en virtud de lo anterior, son colineales si y solo si hay un número real t tal que se cumplan las siguientes igualdades:

Vectores solucion de problemas

      Respuesta :   Vectores solucion de problemas.

      Ejemplo 3 . Las longitudes de los vectores   Vectores solucion de problemas   y   Vectores solucion de problemas   son iguales a   2   y   1,   respectivamente, y el ángulo entre ellos es de   60 °. Calcula la longitud del vector   Vectores solucion de problemas.

      Solución . Considere la Figura 12.

Vectores solucion de problemas

Figura 12

      Usando el teorema del coseno , obtenemos

Vectores solucion de problemas

      Respuesta : Vectores solucion de problemas.

      Ejemplo 4 . Las longitudes de los vectores Vectores solucion de problemas y Vectores solucion de problemasson iguales a 3 y 1, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de   60 °.   Calcula la longitud del vector Suma y resta de vectores.

      Solución . Considere la Figura 13.

Vectores solucion de problemas

Figura 13

      Usando el teorema del coseno , obtenemos

Vectores solucion de problemas

      Respuesta :   Vectores solucion de problemas.

      Ejemplo 5 . Encuentre el ángulo entre los vectores   (3; 6; 2)   y   (4; 7; 4) .

      Solución . Usando la fórmula (8), obtenemos

Vectores solucion de problemas

      Respuesta :   Vectores solucion de problemas.