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Triángulos semejantes

Los triangulos semejantes  son triángulos en los que los ángulos son respectivamente iguales y los lados de uno son respectivamente proporcionales a los lados del otro triángulo.

triangulos semejantes

El coeficiente de similitud  es el número k igual a la razón de los lados similares de triángulos similares.

Los lados similares (o correspondientes) de   triángulos similares son los lados opuestos a ángulos iguales.

coeficiente de similitud triangular

Signos de similitud de triángulos.

Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos de otro, entonces tales triángulos son similares.

triangulos semejantes

Si los dos lados de un triángulo son proporcionales a los dos lados del otro triángulo y los ángulos entre estos lados son iguales, entonces dichos triángulos son similares .
triangulos semejantes

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados del otro, entonces esos triángulos son similares.

triangulos semejantes

Propiedades de triángulos similares

  • La razón de las áreas de triángulos similares es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
  • La razón de los perímetros de triángulos similares  es igual al coeficiente de similitud.triangulos semejantes
  • La razón de las longitudes de los elementos correspondientes de triángulos similares (en particular, las longitudes de las  bisectrices ,  medianas,  alturas  y perpendiculares) es igual al coeficiente de similitud.

Ejemplos de los triángulos similares más comunes

1.  Una línea recta  paralela a un lado de un  triángulo corta un triángulo similar a este.

triángulos similares

2. Los triángulos  AODyMAZORCAformado por los segmentos de las diagonales y las bases del trapezoide son similares. Coeficiente de similitud –k = \ frac {AO} {OC}.

 podobie v trapetsii

3.  En un triángulo rectángulo, la  altura dibujada desde el vértice del ángulo recto lo divide en dos triángulos similares al original.

similitud en triángulo rectángulo

Triangulos semejantes ejercicios resueltos

Problemas como triángulos

Considere las tareas, para resolverlas usaremos la semejanza de triángulos . Prestemos atención tanto a las tareas básicas como a las más complejas. Al final del artículo, encontrará tareas para el trabajo independiente .

 

Objetivo 1.

A través de los puntos M y N, pertenecientes a los lados AB y BC del triángulo ABC, respectivamente, se traza una recta MN, paralela al lado AC. Encuentre la longitud de CN si BC = 6, MN = 4 y AC = 9.triángulos semejantes

Objetivo 2.

Una línea recta paralela a la base del triángulo lo divide en un triángulo y un trapezoide, cuyas áreas son 4: 5. El perímetro del triángulo resultante es de 20 cm Halla el perímetro de este triángulo.

triángulos semejantes

Objetivo 3.

Se dibuja una perpendicular a la hipotenusa a través del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo con catetos de 6 y 8 cm. Calcula las áreas de los triángulos resultantes.

lk

Problema 4.

Se dibujan dos tangentes desde un punto al círculo. La longitud de la tangente es 156 y la distancia entre los puntos de tangencia es 120. Calcula el radio del círculo.

Tarea 5.

En un trapezoide, la A B C Ddiagonal más pequeña BD, igual a 6, es perpendicular a las bases AD = 3DC = 12. Encuentra la suma de los ángulos obtusos segundore.

tirón

Tarea 6.

Las bases del trapezoide son iguales ay b. Determina la longitud del segmento de línea paralelo a las bases y divide el trapezoide en partes iguales.

lkj

 

Tareas de autoaprendizaje

1.  A través de los puntos E y F, pertenecientes a los lados AB y BC del triángulo ABC, respectivamente, se traza una recta EF, paralela al lado AC. Encuentre la longitud de BC si EF = 10, AC = 15 y FC = 9. (Respuesta: 27).

2.  En un triángulo rectángulo,seA B Cdibuja la alturaCHa la hipotenusa. CH = 4,BH = 3.Encuentra la piernaC.A.. (Respuesta: 20/3).

3. Una línea recta paralela a la base del triángulo corta un triángulo, el área del cual es 8 veces menor que el área de la parte restante. El perímetro del triángulo más grande es 27. Calcula el perímetro del triángulo más pequeño. (Respuesta: 9).

4. La base del triángulo mide 15 cm, y los lados son 13 y 14 cm. La altura se divide en una proporción de 2: 3 (contando desde arriba) y se traza una línea recta a través del punto de división paralelo a la base. Encuentra el área del trapezoide resultante. (Respuesta: 70,56 (es posible que necesite la fórmula de Heron )).

5. En trapecios A B C Dcon bases ANUNCIOantes de Cristodiagonales se encuentran en un punto O. El área del triángulo BOCes 4, el área del triángulo AODes 9. Calcula el área del trapezoide. (Respuesta: 25).

6. El trapezoide está dividido por diagonales en cuatro partes. Determine su área siS_1seconocen las áreas de sus partes adyacentes a las basesyS_2. (Respuesta 🙂(\ sqrt {S_1} + \ sqrt {S_2}) ^ 2.