Triangulo

Un triangulo es un polígono que tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices. Es el polígono con menor número de lados, por ello es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Una propiedad fundamental del triángulo es que la suma de sus ángulos siempre es 180º.

Si aun te quedan duda sobre que es un triangulo, aqui tiene otra definición: Un triángulo es una figura geométrica que consta de tres puntos que no se encuentran en una línea recta, tres segmentos que conectan sucesivamente estos puntos y las partes del plano limitadas por ellos.

Los triangulos son las figuras más relevantes de la geometria, ya que cualquier polígono con un número mayor de lados puede reducirse a una sucesión de triángulos, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o uniendo todos sus vértices con un punto interior del polígono.

Un triángulo de ángulo agudo es un triángulo en el que las tres esquinas son agudas.

Elementos del triangulo

Además de los lados y los ángulos interiores, en un triángulo pueden definirse otros elementos de interés desde el punto de vista de la geometría, por lo tanto podemos mencionar:

El ortocentro de un triángulo de ángulo agudo se encuentra dentro del triángulo y el ortocentro de un triángulo obtuso está fuera; el ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

La mediana es el segmento de línea que conecta cualquier vértice del triángulo con el centro del lado opuesto. Las tres medianas del triángulo se cruzan en un punto, que siempre está dentro del triángulo y es su centro de gravedad. Este punto divide cada mediana en una proporción de 2: 1 desde la parte superior.

La perpendicular mediana es una perpendicular trazada desde el punto medio de un segmento de línea (lateral). Las tres perpendiculares medianas del triángulo se cruzan en un punto, que es el centro del círculo circunscrito.

Podemos definir de forma resumida los Elementos del triangulo:

1. Se llama altura de un triángulo a cada una de las perpendiculares trazadas desde un lado al vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto denominado ortocentro.
2. Las mediatrices de un triángulo son cada una de las perpendiculares de sus lados desde su punto medio. La intersección de las tres mediatrices de un triángulo se conoce por circuncentro (que es, además, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo).
3. Se denomina mediana de un triángulo a cada una de las rectas trazadas desde el punto medio de un lado al vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o, también, centro de gravedad del triángulo.
4. Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen por la mitad cada uno de los ángulos del triángulo. Las tres bisectrices de un triángulo intersecan en un punto denominado incentro (que coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).

Propiedades básicas del triangulo

Todo triangulo verifica un conjunto de propiedades geométricas esenciales muy interesantes:

• Hay un ángulo más grande contra el lado más grande y viceversa.
• Los ángulos iguales se encuentran opuestos a los lados iguales y viceversa. En particular, todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales.
• Los ángulos de un triángulo suman 180 °.
• Continuando con uno de los lados del triángulo, obtenemos la esquina exterior. El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores que no son adyacentes a él.
• Cualquier lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos lados y es mayor que su diferencia (a <b + c, a> b - c; b <a + c, b> a - c; c <a + b, c> a - b).

Pruebas de igualdad para triangulos

Los triangulos son iguales si son respectivamente iguales:

• Dos lados y un ángulo entre ellos;
• Dos esquinas y el lado adyacente a ellas;
• Tres lados.

Signos de igualdad de triangulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son iguales si se cumple una de las siguientes condiciones:

• sus piernas son iguales;
• el cateto e hipotenusa de un triángulo son iguales al cateto e hipotenusa del otro;
• la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo son iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo del otro;
• el cateto y el ángulo agudo adyacente de un triángulo son iguales al cateto y al ángulo agudo adyacente del otro;
• el cateto y el ángulo agudo opuesto de un triángulo son iguales al cateto y al ángulo agudo opuesto del otro.

Como sacar la altura de un triangulo

La altura de un triángulo es una perpendicular que cae desde cualquier vértice al lado opuesto (o su continuación). Este lado se llama base del triángulo. Las tres alturas de un triángulo siempre se cruzan en un punto, llamado ortocentro del triángulo.

Según los lados el triangulo puede ser:

Triangulo equilatero:

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que todos sus lados son iguales (a = b = c). Si ninguno de sus lados (abc) es igual en un triángulo, entonces es un triángulo desigual.

Los tres lados son iguales. Los ángulos también son iguales y miden exactamente 60º. Los 3 lados (a, b y c) son iguales.

Triangulo isosceles:

Un triángulo isósceles es un triángulo cuyos dos lados son iguales (a = c); estos lados iguales se llaman laterales, el tercer lado se llama base del triángulo.

Dos de sus lados son iguales. Dos de sus ángulos son iguales. Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto.

Triangulo escaleno:

Ningún lado es igual. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.  Los 3 ángulos son también distintos.

Según sus ángulos:

Triangulo acutangulo:

Sus tres ángulos son agudos, menores de 90º.

Triangulo rectangulo:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene uno de los ángulos de una línea recta, es decir, es igual a 90 °; los lados a, b, que forman un ángulo recto, se llaman catetos; el lado c opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

El triangulo rectangulo tiene un ángulo recto y los otros dos son agudos. El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos.

Triangulo obtusangulo:

El triangulo obtusangulo tiene un lado obtuso, mayor de 90º. Los otros 2 ángulos son agudos.

¿Qué es un triángulo obtuso?

Un triángulo obtuso es un triángulo en el que una de las esquinas es obtusa.

¿como calcular el area de un triangulo?

Para calcular el área de un triángulo, multiplique la altura por el ancho (esto también se conoce como la 'base') y luego divida por 2.

Calcular el área de un triángulo donde la altura = 5 cm y el ancho = 8 cm.

5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20

El área es de 20 cm².

¿Qué significa el perímetro de un triángulo?

El perimetro de un triangulo es la distancia total alrededor de los bordes de un triángulo. En otras palabras, la longitud del límite de un triángulo es su perímetro.

Teorema de pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Prueba del teorema de Pitágoras

Construya un cuadrado AKMB usando la hipotenusa AB como lado. Luego, extendemos los lados del triángulo rectángulo ABC para obtener el cuadrado CDEF, cuyo lado es a + b. Ahora está claro que el área del cuadrado CDEF es igual a (a + b) 2. Por otro lado, esta área es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos y el cuadrado AKMB, es decir,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

de aquí,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

y finalmente tenemos:

c 2 = a 2 + segundo 2.

Relación de aspecto en un triángulo arbitrario

En el caso general (para un triángulo arbitrario) tenemos:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

donde C es el ángulo entre los lados ay b.

Como sacar el perimetro de un triangulo

Para calcular el perímetro de un triángulo, suma la longitud de sus lados. Por ejemplo, si un triángulo tiene lados a, byc, entonces el perímetro de ese triángulo será P = a + b + c.

Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo con la base de 3 cm y la altura de 4 cm.
Primero, usando el teorema de Pitágoras, calcule la hipotenusa del triángulo rectángulo.

h = √ (base2 + perpendicular2)

h = √ (32 + 42)

h = √ (9 + 16)

h = √25

O, h = 5 cm

Entonces, el perímetro del triángulo = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se clasifican o agrupan de dos formas. Una de las clasificaciones se realiza según los lados y la otra según las esquinas. Para los triángulos, los tres lados pueden ser iguales (congruentes), o solo dos lados son iguales, o no hay lados iguales en absoluto. Los lados congruentes y los ángulos congruentes de un triángulo a menudo se marcan como en la siguiente figura.

La siguiente figura muestra la clasificación al agrupar triángulos uno al lado del otro.

Tenga en cuenta que los triángulos isósceles tienen dos lados iguales, llamados lados laterales , y dos ángulos iguales, llamados esquinas de la base . El tercero se llama fundación . En triángulos equiláteros, todos los lados y todos los ángulos son iguales. Cada uno de los ángulos de dicho triángulo mide 60 °.

La clasificación de ángulos de los triángulos se muestra en la siguiente figura.

Tenga cuidado al clasificar triángulos por ángulos; tenga en cuenta que aunque los triángulos rectángulos y los triángulos obtusos tienen cada uno dos esquinas agudas, esto no afecta su clasificación. En triángulos de ángulos agudos, los tres las esquinas son afiladas. 

Ejemplo: clasifica un triángulo por lados y esquinas.

Para la agrupación de lados, observe que hay dos lados (AB, BC) que coinciden. Clasificando por lados, se puede argumentar que este es un triángulo isósceles. Para categorizar por ángulos, tenga en cuenta que este triángulo tiene un ángulo recto. Por lo tanto, es un triángulo isósceles en ángulo recto.

 
Ejemplo: clasifica un triángulo por lados y esquinas.

Debido al hecho de que no hay lados marcados en esta figura como iguales, este triángulo se puede clasificar por lados como versátil. Un ángulo mayor de 90 ° (  B equivale a 110 °); por tanto, el ángulo es obtuso. Este triángulo es obtuso.