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Triángulo de Pascal

Como se construye el triangulo de pascal

 Para obtener el triángulo de Pascal, reescribimos la Tabla 1 de la sección «Fórmulas para la multiplicación abreviada: grado de suma y grado de diferencia» en la siguiente forma (Tabla A):

      Tabla II – Grados naturales del binomio   x + y

No. Poder Descomposición en la suma de monomios.
0 x + y ) 0 = 1
1 x + y ) 1 = x + 1 y
2 x + y ) 2 = 2 + 2 xy + 1 2
3 x + y ) 3 = 3 + 3 y + 3 2 + 1 3
4 x + y ) 4 = 4 + 4 y + 6 2 + 4 3 + 1 4
cinco x + y ) 5 = 5 + 5 y + 10 2 + 10 3 + 5 4 + 1 5
6 x + y ) 6 = 6 + 6 y + 15 2 + 20 3 + 15 4 + 6 5 + 1 6

 Ahora, usando la tercera columna de la Tabla II, compondremos la siguiente Tabla – Triángulo de Pascal:

      Tabla – Triángulo de Pascal

No. Triángulo de Pascal
0 1
1 1     1
2 1     2     1
3 1     3     3     1
4 1     4     6     4     1
cinco 1     5     10     10     5     1
6 1     6     15     20     15     6     1

Por si acaso, recordamos que Blaise Pascal es un famoso físico y matemático que vivió en Francia hace más de tres siglos.

En el triángulo de Pascal, cada fila corresponde a una fila con el mismo número en la Tabla P. Sin embargo, en cada fila del triángulo de Pascal, a diferencia de la Tabla P., solo se escriben los coeficientes de expansión en la suma de monomios del grado binomial correspondiente   x + y  .

 Habiendo llenado primero las filas del triángulo de Pascal numeradas   0   y   1,   considere las líneas numeradas   2   y más allá.

La propiedad principal del triángulo de Pascal , que permite de forma secuencial, a partir de la línea número   2,   llenar sus líneas, es la siguiente propiedad :

Cada una de las líneas , comenzando con la línea número   2, en   primer lugar, comienza y termina con el número   1   y, en segundo lugar, entre los números   1   hay números, cada uno de los cuales es igual a la suma de los dos números que están arriba en la línea anterior.

 De hecho, el número   2   en la línea dos es igual a la suma de los números   1   más   1   en la primera línea. Asimismo, los números   3   y   3   en la línea tres son iguales, respectivamente, a la suma de los números   1   más   2   y la suma de los números   2   más   1   en la segunda línea.

También para otras líneas.

Así, la propiedad del triángulo de Pascal permite, al completar una de las líneas, es fácil completar la siguiente, es decir. obtenga los coeficientes de expansión necesarios en la suma de monomios del siguiente grado del binomio   x + y.

Un ejemplo . Escribe una descomposición de la forma:

x + y ) 7 .

Solución . Usando la fila del triángulo número 6 de Pascal     y aplicando la propiedad principal del triángulo de Pascal, obtenemos la fila número   7:  

6 1     6     15     20     15     6     1
7 1     7     21     35     35     21     7     1

 Por consiguiente,

x + y ) 7 = 7 + 7 y + 21 2 + 35 2 + 35 4 + 21 5 + 7 6 + 7 .