Que es la geometria y Tipos de geometria

Geometría proyectiva

La geometría proyectiva se originó con el matemático francés Girard Desargues (1591-1661) para tratar las propiedades de las figuras geométricas que no se alteran al proyectar su imagen, o “sombra”, sobre otra superficie .

Geometrías no euclidianas

A partir del siglo XIX, varios matemáticos sustituyeron por alternativas al postulado paralelo de Euclides , que, en su forma moderna, dice: “dada una línea y un punto que no está en la línea, es posible trazar exactamente una línea a través del punto dado paralelo a la línea." Esperaban demostrar que las alternativas eran lógicamente imposibles. En cambio, descubrieron que existen geometrías no euclidianas consistentes.

Geometría analítica

La geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas, pensamos en objetos geométricos en el plano de coordenadas. Por ejemplo, podemos ver que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos al redactar una ecuación lineal para cada lado y ver que las pendientes son exactamente las mismas.

Geometría Analítica Elemental

Apolonio de Perge ( c. doscientos sesenta y dos-ciento noventa a . C. ), conocido por sus contemporáneos como el \"Gran Geómetro\", auguró el desarrollo de la geometría analítica por más de mil ochocientos años con su libroCónicas . Definió una cónica como la intersección de un cono y un plano ( ver figura ). Usando los resultados de Euclides en triángulos afines y en secantes de círculos, encontró una relación satisfecha por las distancias desde cualquier punto P de una cónica a 2 líneas perpendiculares, el eje mayor de la cónica y la tangente en un punto final del eje. Estas distancias corresponden a coordenadas de P , y la relación entre estas coordenadas corresponde a una ecuación cuadrática de la cónica. Apolonio empleó esta relación para deducir propiedades fundamentales decónicas.

La geometría analítica tuvo su mayor impacto en las matemáticas por medio de cálculo . Sin acceso al poder de la geometría analítica, los matemáticos griegos clásicos como Arquímedes ( c. 285-doscientos doce / 211 antes de Cristo ) resolvieron casos singulares de los inconvenientes básicos del cálculo: hallar tangentes y puntos extremos (cálculo diferencial) y longitudes de arco, áreas, y volúmenes (cálculo integral). Los matemáticos del Renacimiento volvieron a estos problemas por las necesidades de la astronomía, la óptica, la navegación, la guerra y el comercio. Naturalmente, buscaron usar el poder del álgebra para acotar y examinar una gama creciente de curvas.

Geometria descriptiva

La geometría gráfica es una ciencia que se creó para sistematizar y prosperar el proceso de diseño en el siglo XVIII. No obstante, la enseñanza de la geometría gráfica desde ese momento no está asociada con el diseño. La geometría gráfica es vista por los profesores como una ciencia pura, como las matemáticas o bien la física, donde se demanda a los estudiantes un nivel alto de abstracción para entender técnicas de representación y inconvenientes geométricos. Además de esto, el empleo de recursos computacionales en la educación de la geometría gráfica tiene un enorme potencial, mas todavía está descuidado. Hoy día, los gráficos por computadora están presentes en todos y cada uno de los sistemas de diseño asistido por computadora, mas sus usuarios hacen poca o bien ninguna relación entre las herramientas de CAD y la geometría gráfica. Proyecciones, vistas, curvas paramétricas son conceptos frecuentes en los 2 mundos, que se efectúan, en sistemas CAD, a través de geometría vectorial.

Este trabajo presenta una nueva metodología aplicada para progresar el aprendizaje de la geometría gráfica que se fundamenta en un nuevo enfoque de los contenidos ideales y el empleo del aprendizaje basado en el diseño. Este nuevo enfoque se empleará en clase y se equiparará con la clase tradicional. La meta es crear un nuevo paradigma para la educación en geometría gráfica, transformándola ciertamente en una herramienta de diseño.

Geometría plana

El estudio de la geometría Plana se puede dividir en dos grandes tipos: geometría plana, que se ocupa de solo dos dimensiones, y geometría sólida, que permite las tres. El mundo que nos rodea es obviamente tridimensional, con ancho, profundidad y altura. La geometría sólida se ocupa de objetos en ese espacio, como cubos y esferas.

La geometría plana se ocupa de objetos que son planos, como triángulos y líneas, que se pueden dibujar en una hoja de papel plana.

Orígenes de la Geometria Plana

La geometría plana, y también gran parte de la geometría sólida, fue establecida por primera vez por los griegos hace unos 2000 años. Euclides, en particular, hizo grandes contribuciones al campo con su libro "Elementos", que fue el primer tratado profundo y metódico sobre el tema. En particular, construyó una secuencia capa por capa de pasos lógicos, demostrando sin lugar a dudas que cada paso seguía lógicamente a los anteriores.

La geometría se trata realmente de dos cosas:

• Los objetos y sus propiedades. Análisis de cosas como puntos, líneas, triángulos.
• Pruebas. Una metodología para demostrar que las afirmaciones hechas sobre los objetos son realmente ciertas.

Topología

La topología, la rama más joven y sofisticada de la geometría, se centra en las propiedades de los objetos geométricos que permanecen sin cambios tras la deformación continua: encogimiento, estiramiento y plegado, pero no desgarro. El continuo desarrollo de la topología se remonta a 1911, cuando el matemático holandés LEJ Brouwer (1881-1966) introdujo métodos generalmente aplicables al tema.

Historia De La Geometría

Los primeros ejemplos inequívocos conocidos de registros escritos, que datan de Egipto y Mesopotamia alrededor del 3100 a. C., demuestran que los pueblos antiguos ya habían comenzado a idear reglas y técnicas matemáticas útiles para inspeccionar áreas terrestres, construir edificios y medir contenedores de almacenamiento. A partir del siglo VI a. C. , los griegos reunieron y ampliaron este conocimiento práctico y, a partir de él, generalizaron el tema abstracto ahora conocido como geometría, a partir de la combinación de las palabras griegas geo ("Tierra") y metron ("medida") para la medición de la tierra.

Geometría antigua: práctica y empírica

El origen de la geometría radica en las preocupaciones de la vida cotidiana. El relato tradicional, conservado en la Historia de Herodoto (siglo V a. C. ), atribuye a los egipcios la invención de la agrimensura para restablecer el valor de las propiedades después de la inundación anual del Nilo. De igual forma, el afán por conocer los volúmenes de figuras sólidas derivó de la necesidad de evaluar tributos, almacenar petróleo y grano, construir presas y pirámides. Incluso los tres problemas geométricos abstrusos de la antigüedad (doblar un cubo , trisecar un ángulo y cuadrar un círculo , todos los cuales se discutirán más adelante) probablemente surgieron de cuestiones prácticas, de rituales religiosos, cronometraje y construcción., respectivamente, en sociedades pre-griegas del Mediterráneo. Y el tema principal de la geometría griega posterior, la teoría de las secciones cónicas , debió su importancia general, y quizás también su origen, a su aplicación a la óptica y la astronomía.

Si bien muchos individuos antiguos, conocidos y desconocidos, contribuyeron al tema, ninguno igualó el impacto de Euclides y su Elementos de geometría, un libro que ahora tiene 2.300 años y objeto de un estudio tan doloroso y minucioso como la Biblia. Se sabe mucho menos sobre Euclides , sin embargo, que sobre Moisés. De hecho, lo único que se sabe con bastante confianza es que Euclides enseñó en la Biblioteca de Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I (323-285 / 283 a. C. ). Euclides escribió no solo sobre geometría, sino también sobre astronomía y óptica y quizás también sobre mecánica y música. Solo los Elementos , que fueron copiados y traducidos extensamente, han sobrevivido intactos.

Los Elementos de Euclides estaban tan completos y escritos con tanta claridad que literalmente borraron el trabajo de sus predecesores. Lo que se conoce sobre la geometría griega antes que él proviene principalmente de fragmentos citados por Platón y Aristóteles y por matemáticos y comentaristas posteriores. Entre otros objetos preciosos que conservaron se encuentran algunos resultados y el enfoque general de Pitágoras ( c. 580 - c. 500 a . C. ) y sus seguidores. losLos pitagóricos se convencieron a sí mismos de que todas las cosas son o deben sus relaciones a números. La doctrina le dio a las matemáticas una importancia suprema en la investigación y comprensión del mundo. Platón desarrolló una visión similar, y los filósofos influenciados por Pitágoras o Platón a menudo escribieron extasiados sobre la geometría como clave para la interpretación del universo. Así, la geometría antigua se asoció con lo sublime para complementar sus orígenes terrenales y su reputación como ejemplo de razonamiento preciso.

Encontrar el ángulo recto

Los constructores y topógrafos antiguos necesitaban poder construir ángulos rectos en el campo a pedido. El método empleado por los egipcios les valió el nombre de "tiradores de cuerdas" en Grecia, aparentemente porque empleaban un cuerda para trazar sus pautas de construcción. Una forma en que podrían haber empleado una cuerda para construir triángulos rectángulos era marcar una cuerda enrollada con nudos de modo que, cuando se sujetara por los nudos y se tensara, la cuerda debía formar un triángulo rectángulo. La forma más sencilla de realizar el truco es tomar una cuerda de 12 unidades de largo, hacer un nudo a 3 unidades de un extremo y otras 5 unidades del otro extremo, y luego anudar los extremos para formar un bucle, como se muestra en la figura. animación. Sin embargo, los escribas egipcios no nos han dejado instrucciones sobre estos procedimientos y mucho menos ningún indicio de que supieran generalizarlos para obtener el teorema de Pitágoras. el cuadrado de la línea opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. De manera similar, las escrituras védicas de la antigua India contienen secciones llamadas sulvasutra s, o "reglas de la cuerda", para la ubicación exacta de los altares de sacrificio. Los ángulos rectos requeridos se hicieron con cuerdas marcadas para dar las tríadas (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

En tablillas de arcilla babilónicas ( c. 1700-1500 a . C. ) los historiadores modernos han descubierto problemas cuyas soluciones indican que el teorema de Pitágoras y algunas tríadas especiales se conocían más de mil años antes de Euclides. Sin embargo, es muy poco probable que un triángulo rectángulo hecho al azar tenga todos sus lados medibles por la misma unidad, es decir, cada lado un número entero múltiplo de alguna unidad común de medida. Este hecho, que fue un shock cuando fue descubierto por los pitagóricos, dio lugar al concepto y la teoría de la inconmensurabilidad.

Localizar lo inaccesible

Por tradición antigua, Tales de Mileto, que vivió antes de Pitágoras en el siglo VI a. C. , inventó una forma de medir alturas inaccesibles, como las pirámides egipcias. Aunque ninguno de sus escritos sobrevive, Tales bien pudo haber sabido acerca de una observación babilónica de que para triángulos similares (triángulos que tienen la misma forma pero no necesariamente del mismo tamaño) la longitud de cada lado correspondiente aumenta (o disminuye) por el mismo múltiplo. En la figura se muestra una determinación de la altura de una torre utilizando triángulos similares. Los chinos antiguos llegaron a medidas de alturas y distancias inaccesibles por otra ruta, utilizando rectángulos "complementarios", como se ve en la siguiente figura , que puede mostrarse que da resultados equivalentes a los del método griego que involucra triángulos.

Estimando la riqueza

Una tablilla cuneiforme babilónica escrita hace unos 3.500 años trata problemas sobre presas, pozos, relojes de agua y excavaciones. También tiene un ejercicio sobre recintos circulares con un valor implícito de π = 3. El contratista de la piscina del rey Salomón, que hizo un estanque de 10 codos de ancho y 30 codos de diámetro (1 Reyes 7:23), usó el mismo valor. Sin embargo, los hebreos deberían haber tomado su π de los egipcios antes de cruzar el Mar Rojo , porque el Papiro Rhind ( c. 2000 AC ; el testimonio principal de las matemáticas del antiguo Egipto) implica π = 3,1605.

El conocimiento del área de un círculo era de valor práctico para los funcionarios que realizaban un seguimiento del tributo del faraón, así como para los constructores de altares y piscinas. Ahmes , el escriba que copió y anotó el papiro de Rhind ( c. 1650 a . C. ), tiene mucho que decir sobre los graneros y las pirámides cilíndricas, enteras y truncadas. Podía calcular sus volúmenes y, como se desprende de su toma del seked egipcio , la distancia horizontal asociada con una elevación vertical de un codo, como la cantidad definitoria de la pendiente de la pirámide, sabía algo sobre triángulos similares.

Geometria antigua: abstracta y aplicada

Cuadrando el círculo

Los geómetras griegos preeuclidianos transformaron el problema práctico de determinar el área de un círculo en una herramienta de descubrimiento. Se pueden distinguir tres enfoques: el intento de Hipócrates de sustituir un problema por otro; la aplicación de un instrumento mecánico, como en el dispositivo de Hippias para trisecar el ángulo; y la técnica que resultó ser la más fructífera, la aproximación cada vez más cercana a una magnitud desconocida difícil de estudiar (por ejemplo, el área de un círculo) por una serie de magnitudes conocidas más fáciles de estudiar (por ejemplo, áreas de polígonos) - una técnica conocida en los tiempos modernos como el "método de agotamiento ”y atribuido por su mayor practicante, Arquímedes, al alumno de Platón Eudoxo de Cnidus ( c. 408– c. 355 a . C. ).

Aunque no pudo cuadrar el círculo, Hipócrates demostró las cuadraturas del lunes; es decir, demostró que el área entre dos arcos circulares que se cruzan podría expresarse exactamente como un área rectilínea y, por lo tanto, generó la expectativa de que el círculo mismo podría tratarse de manera similar. Un contemporáneo de Hipias descubrió que la cuadratriz podía usarse para casi rectificar círculos. Estos fueron los enfoques mecánicos y de sustitución.

El método de agotamiento desarrollado por Eudoxus aproxima una curva o superficie usando polígonos con perímetros y áreas calculables. A medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta indefinidamente, su perímetro y área "agotan" o absorben la circunferencia y el área del círculo dentro de cualquier error asignable.de longitud o área, por pequeña que sea. En el uso de Arquímedes, el método de agotamiento producía límites superior e inferior para el valor de π, la relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro. Esto lo logró inscribiendo un polígono dentro de un círculo y circunscribiendo un polígono a su alrededor también, delimitando así la circunferencia del círculo entre los perímetros calculables de los polígonos. Utilizó polígonos con 96 lados y por lo tanto obligado π entre 3 10 / 71 y 3 1 / 7.

Geometria molecular

La geometría molecular, también conocida como estructura molecular, es la estructura o disposición tridimensional de los átomos en una molécula. Entender la estructura molecular de un compuesto puede ayudar a determinar la polaridad, la reactividad, la fase de la materia, el color, el magnetismo y la actividad biológica.

Topologia

Topología , rama de las matemáticas, a veces denominada "geometría de la hoja de caucho", en la que dos objetos se consideran equivalentes si pueden estar continuamente deformados uno en otro a través de movimientos en el espacio como doblarse, torcerse, estirarse y encogerse mientras no permiten desgarrar o pegar partes. Los principales temas de interés en topología son las propiedades que permanecen inalteradas por tales deformaciones continuas.

VIDEO SOBRE LOS TIPOS DE GEOMETRIA