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Teorema binomial

Fórmula binomial de Newton

      En la Tabla 1 de la sección «Multiplicación de fórmulas de acrónimos» están las fórmulas para el binomio de potencias naturales

x + y ) n

en los casos en que   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      Esta sección considera el caso general de esta fórmula, es decir el caso de un valor natural arbitrario   n.

 El material de esta sección está estrechamente relacionado con el material de las secciones «Fórmulas de multiplicación abreviadas: grado de suma y grado de diferencia» , «Triángulo de Pascal» y «Combinatoria: colocación y combinaciones» .

      Aprobación . Para cualquier número natural   n   y cualquier número de   x   y   y   , la fórmula Newton binomial es válido :

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal (1)

Dónde

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal (2)

– el número de combinaciones de   n   elementos por   k   elementos.

      En la fórmula (1), los términos

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

llamados los términos del binomio de expansión , y el número de combinaciones Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal : coeficientes de expansión y coeficientes binomiales .

      Si en la fórmula (1) reemplazamos   y   por   – y,   obtenemos una fórmula para la   n -ésima potencia de la diferencia:

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

Relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

      Recuerde que el triángulo de Pascal tiene la siguiente forma:

No. Triángulo de Pascal
0 1
1 1     1
2 1     2     1
3 1     3     3     1
4 1     4     6     4     1
cinco 1     5     10     10     5     1
6 1 6 15 20 15 6 1

      Dado que los números que componen el triángulo de Pascal son coeficientes binomiales, el triángulo de Pascal se puede reescribir de otra forma:

No. Triángulo de Pascal
0 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
1 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
2 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
3 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
4 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
cinco Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
6 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

Propiedades de los coeficientes binomiales

      Los coeficientes binomiales satisfacen las igualdades:

1 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
2 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
3 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal
4 Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

a cuya prueba pasamos ahora.

      Primero probemos la igualdad 1 .

      Esta igualdad refleja la propiedad principal del triángulo de Pascal , que es que en cada una de las líneas del triángulo de Pascal, a partir de la línea   2,   hay números entre los números   1   , cada uno de los cuales es igual a la suma de los dos números arriba en la línea anterior.

      Para demostrar la igualdad 1, usamos la fórmula (2):

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

según sea necesario.

      Para demostrar la igualdad 2, ponemos en la fórmula binomial de Newton (1)   = 1,    = 1.  

      Si  tomamos  = 1,    = –1 en la fórmula binomial de Newton (1) ,  obtenemos la igualdad 3.  

      Pasamos a la prueba de igualdad 4 . Para ello, ponemos en la fórmula binomial de Newton (1)  y = 1  

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal (3)

      Aprovechando la obvia igualdad

Combinatoria de colocación y combinación

reescribimos la fórmula (3) en otra forma

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal (4)

      Si ahora multiplicamos las fórmulas (3) y (4), obtenemos la igualdad:

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal (cinco)

      Si aplicamos la fórmula binomial de Newton al lado izquierdo de la fórmula (5), y luego, abriendo los corchetes del lado derecho y dando términos similares , equiparamos los coeficientes de   n en los lados izquierdo y derecho, obtenemos la siguiente igualdad:

Propiedades binomiales de Newton de los coeficientes binomiales relación entre el binomio de Newton y el triángulo de Pascal

según sea necesario.