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Geometria

La geometria es un campo original de las matematicas y, de hecho, es la mas antigua de todas las ciencias, y se remonta al menos a los tiempos de Euclides, Pitágoras y otros «filósofos naturales» de la antigua Grecia. Inicialmente, la geometría se estudió para comprender el mundo físico en el que vivimos, y la tradición continúa hasta el día de hoy. Sea testigo, por ejemplo, del espectacular éxito de la teoría de la relatividad general de Einstein, una teoría puramente geométrica que describe la gravitación en términos de la curvatura de un “espacio-tiempo” de cuatro dimensiones. Sin embargo, la geometría trasciende mucho más allá de las aplicaciones físicas, y no es descabellado decir que las ideas y métodos geométricos siempre han permeado todos los campos de las matemáticas.

En el lenguaje moderno, el objeto central de estudio en geometría es una variedad, que es un objeto que puede tener una forma general complicada, pero tal que en escalas pequeñas “parece” un espacio ordinario de cierta dimensión. Por ejemplo, una variedad unidimensional es un objeto en el que pequeños trozos parecen una línea, aunque en general parece una curva en lugar de una línea recta. Una variedad bidimensional, a pequeña escala, parece una hoja de papel (curva): hay dos direcciones independientes en las que podemos movernos en cualquier punto. Por ejemplo, la superficie de la Tierra es una variedad bidimensional. Una variedad n-dimensional también se ve localmente como un espacio n-dimensional ordinario. Esto no corresponde necesariamente a ninguna noción de «espacio físico». Como ejemplo, los datos de la posición y velocidad de N partículas en una habitación se describen mediante 6N variables independientes, porque cada partícula necesita 3 números para describir su posición y 3 números más para describir su velocidad. Por lo tanto, el «espacio de configuración» de este sistema es una variedad de 6N dimensiones. Si por alguna razón el movimiento de estas partículas no fuera independiente sino más bien limitado de alguna manera, entonces el espacio de configuración sería una variedad de menor dimensión.

Por lo general, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales tiene la estructura de una variedad de alta dimensión. La comprensión de la «geometría» de esta variedad a menudo da una nueva comprensión de la naturaleza de estas soluciones y del fenómeno real que es modelado por las ecuaciones diferenciales, ya sea que provenga de la física, la economía, la ingeniería o cualquier otra ciencia cuantitativa.

Hoy en día, hay muchos sub.- campos diferentes de geometría que se estudian activamente. Aquí describimos solo algunos de ellos:

Temas de estudio de la Geometria

Finalmente, otra área muy importante de la geometría es el estudio de las conexiones (y su curvatura) en paquetes de vectores, también comúnmente llamada “teoría de la galga”. Este campo fue desarrollado de forma independiente por físicos y matemáticos alrededor de la década de 1950. Cuando los dos campos finalmente se unieron en la década de 1970 para comunicarse, liderados por figuras de renombre como Atiyah, Bott, Singer y Witten, se produjo una espectacular sucesión de importantes avances nuevos en ambos campos. Algunos de estos logros incluyen la existencia de variedades de 4 dimensiones “exóticas” y el descubrimiento de nuevos invariantes que distinguen diferentes tipos de espacios.

La geometría es más activa y emocionante que nunca, incluso después de 3000 años. Y no hay señales de que vaya a ceder.