Aritmética

Aritmética es la rama de las matemáticas en la que se estudian y utilizan números, relaciones entre números y observaciones sobre números para resolver problemas.

La aritmética (un término derivado de la palabra griega aritmos , "número") se refiere generalmente a los aspectos elementales de la teoría denúmeros , artes de la medición (medición) y cálculo numérico (es decir, los procesos de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces).

Su significado, sin embargo, no ha sido uniforme en el uso matemático. Un eminente matemático alemán, Carl Friedrich Gauss, en Disquisitiones Arithmeticae (1801), y algunos matemáticos modernos han utilizado el término para incluir temas más avanzados. El lector interesado en este último puede consultar la teoría del número de artículos .

Índice

Definiciones Y Leyes Fundamentales

Números naturales

En una colección (o conjunto ) de objetos (o elementos), el acto de determinar el número de objetos presentes se llama contando. Los números así obtenidos se denominan números de conteo o números naturales (1, 2, 3,…). Para un conjunto vacío, no hay ningún objeto presente y el recuento da como resultado el número 0, que, añadido a los números naturales, produce lo que se conoce como números enteros.

Suma y multiplicación

La combinación de dos conjuntos de objetos juntos, que contienen elementos a y b, un nuevo conjunto está formado por objeto a + b = c. El número c se llama a y b ; y cada uno de estos últimos se llama Sumando. La operación de formar la suma se llama Adición, el símbolo + se lee como "más". Esta es la operación binaria más simple, donde binario se refiere al proceso de combinar dos objetos.

Si los objetos de dos conjuntos se pueden emparejar de tal manera que cada elemento de cada conjunto esté emparejado de forma única con un elemento del otro conjunto, se dice que los conjuntos son iguales o equivalentes. El concepto de conjuntos equivalentes es básico para los cimientos de las matemáticas modernas y se ha introducido en la educación primaria , sobre todo como parte de la “nueva matemática” que ha sido aclamada y criticada alternativamente desde su aparición en la década de 1960.

De la definición de contar es evidente que el orden de los sumandos se puede cambiar y el orden de la operación de suma puede cambiarse, cuando se aplica a tres sumandos, sin afectar la suma. Estos se llaman ley conmutativa de la suma y la ley asociativa de la adición, respectivamente.

Si existe un número natural k tal que a = b + k , se dice que a es mayor que b (escrito a > b ) y que b es menor que a (escrito b< a). Si un y b son dos números naturales, entonces es el caso de que sea a = b o a > b o a < b (la ley de tricotomía). De las leyes anteriores, es evidente que una suma repetida como 5 + 5 + 5 es independiente de la forma en que se agrupan los sumandos; se puede escribir 3 × 5. Por lo tanto, una segunda operación binaria llamada multiplicación está definida. El número 5 se llama multiplicando; el número 3, que denota el número de sumandos, se llama multiplicador; y el resultado 3 × 5 se llama producto. El símbolo × de esta operación se lee "veces". Si se utilizan letras como a y b para denotar los números, el producto a×b se suele escribir a ∙ b o simplemente ab.

Si se escriben tres filas de cinco puntos cada una, como se ilustra a continuación:

Luego, el primer conjunto consta de tres columnas de tres puntos cada una, o 3 × 3 puntos; el segundo conjunto consta de dos columnas de tres puntos cada una, o 2 × 3 puntos; la suma (3 × 3) + (2 × 3) consta de 3 + 2 = 5 columnas de tres puntos cada una, o (3 + 2) × 3 puntos. En general, se puede probar que la multiplicación de una suma por un número es lo mismo que la suma de dos productos apropiados. Tal ley se llama ley distributiva.

Enteros

La resta no se ha introducido por la sencilla razón de que se puede definir como la inversa de la suma. Por lo tanto, la diferencia a - b de dos números a y b se define como una solución x de la ecuación b + x = a. Si un sistema numérico está restringido a los números naturales, no siempre es necesario que existan diferencias, pero, si las hay, las cinco leyes básicas de la aritmética, como ya se discutió, pueden usarse para demostrar que son únicas. Además, las leyes de las operaciones de suma y multiplicación se pueden ampliar para aplicarlas a las diferencias. Los números enteros (incluido el cero) se pueden ampliar para incluir la solución de 1 +x = 0, es decir, el número -1, así como todos los productos de la forma -1 × n , en la que n es un número entero. La colección extendida de números se llama enteros , de los cuales los enteros positivos son los mismos que los números naturales. Los números que se introducen recientemente de esta manera se denominan enteros negativos.

Exponentes

Así como una suma repetida a + a + ⋯ + a de k sumandos se escribe k a, un producto repetido a × a × ⋯ × a de k factores se escribe a k . El número k se llama exponente y a la base de lapoder a k.

Teoría De Los Divisores

En este punto se produce un desarrollo interesante, ya que, mientras sólo se realicen sumas y multiplicaciones con números enteros, los números resultantes son invariablemente ellos mismos números enteros, es decir, números del mismo tipo que sus antecedentes . Esta característica cambia drásticamente, sin embargo, tan pronto como se introduce la división. Realizar la división (su símbolo ÷) conduce a resultados, llamados cocientes o fracciones, que sorprendentemente incluyen números de un nuevo tipo, a saber, racionales (que no son números enteros). Estos, aunque surgen de la combinación de números enteros, constituyen evidentemente una extensión distinta de los conceptos de número natural y número entero como se definió anteriormente. Mediante la aplicación de la operación de división, el dominio de los números naturales se extiende y se enriquece inconmensurablemente más allá de los números enteros

Lo anterior ilustra una de las inclinaciones que a menudo se asocian con el pensamiento matemático: se encuentra que los conceptos relativamente simples (como los números enteros), inicialmente basados en operaciones muy concretas (por ejemplo, contar), son capaces de asumir nuevos significados y usos potenciales, extendiéndose mucho más allá de los límites del concepto tal como se definió originalmente. Una extensión similar de conceptos básicos, con resultados aún más poderosos, se encontrará con la introducción de los irracionales.

Un segundo ejemplo de este patrón lo presenta lo siguiente: Bajo la definición primitiva de exponentes, con k igual a cero o una fracción, a ^k parecería, a primera vista, estar completamente desprovisto de significado. Se necesita una aclaración antes de escribir un producto repetido de cero factores o un número fraccionario de factores. Considerando el caso k = 0, una pequeña reflexión muestra que un ⁰ puede, de hecho, asumir un significado perfectamente preciso, junto con una propiedad adicional y bastante extraordinaria. Dado que el resultado de dividir cualquier número (distinto de cero) por sí mismo es 1, o la unidad, se sigue que:

a^m ÷ a^m = a^m - m = a⁰ = 1.

No sólo se puede ampliar la definición de a^k para incluir el caso k = 0, sino que el resultado resultante también posee la propiedad notable de que es independiente del valor particular (distinto de cero) de la base a . Se puede dar un argumento similar para demostrar que a ^k es una expresión significativa incluso cuando k es negativo, es decir,a ^- k = 1 / a ^k .El concepto original de exponente se amplía así en gran medida.

Teoría fundamental

Si tres números enteros positivos a,b, y c están en la relación de ab = c , se dice que a y b son divisores o factores de c , o que a divide c (escrito a | c ) y b divide c . El número c se dice que es un múltiplo de a y un múltiplo de b .

El número 1 se llama la unidad, y está claro que 1 es un divisor de todo entero positivo. Si c se puede expresar como un producto de una b en la que una y b son números enteros positivos cada mayor que 1, entonces c se llama compuesto. Un entero positivo ni 1 ni compuesto se llama número primo. Así, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… son números primos. El matemático griego antiguo Euclides demostró en sus Elementos ( c. 300 a . C. ) que hay infinitos números primos.

Los El teorema fundamental de la aritmética fue probado por Gauss en su Disquisitiones Arithmeticae. Establece que cada número compuesto se puede expresar como un producto de números primos y que, salvo por el orden en que se escriben los factores, esta representación es única. El teorema de Gauss se deriva bastante directamente de otro teorema de Euclides en el sentido de que si un primo divide un producto, entonces también divide uno de los factores del producto; por esta razón, el teorema fundamental a veces se le atribuye a Euclides.

Numeros racionales

Desde un punto de vista menos abstracto, la noción de división o de fracción , también se puede considerar que surge de la siguiente manera: si se requiere conocer la duración de un proceso dado con una precisión superior a una hora, se puede especificar el número de minutos; o, si la hora se mantiene como unidad fundamental, cada minuto puede estar representado por 1/60.

Sumar y restar fracciones

De la definición de fracción se deduce que la suma (o diferencia) de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción con este denominador, cuyo numerador es la suma (o diferencia) de los numeradores de las fracciones dadas. Se pueden sumar o restar dos fracciones que tengan diferentes denominadores reduciéndolas primero a fracciones con el mismo denominador. Por lo tanto, para agregar a/ b y c / d , la LCM de b y d , a menudo llamado el mínimo común denominador de las fracciones, debe ser determinado. De ello se deduce que existen números k y l tales que k b = l d, y ambas fracciones se pueden escribir con este denominador común, de manera que la suma o diferencia de las fracciones se obtiene mediante la simple operación de sumar o restar los nuevos numeradores y colocar el valor sobre el nuevo denominador.

Multiplicar y dividir fracciones

Para multiplicar dos fracciones, en caso de que uno de los números sea un número entero, se coloca sobre el número 1 para crear una fracción, los numeradores y denominadores se multiplican por separado para producir el numerador y el denominador de la nueva fracción: a/b × c/d = ac/bd. Para dividir por una fracción, debe invertirse, es decir, intercambiar el numerador y el denominador, después de lo cual se convierte en un problema de multiplicación: a / b ÷ c / d = a / b × d / c =a d / b c.

Teoría de los racionales

Un método para introducir los números racionales positivos que está libre de intuición (es decir, con todos los pasos lógicos incluidos) fue dado en 1910 por el matemático alemán Ernst Steinitz. Al considerar el conjunto de todos los pares de números ( a , b ), ( c , d ), ... en los que a , b , c , d , ... son números enteros positivos, la relación de igual ( a , b ) = ( c , d ) se define para significar que a d = b c , y las dos operaciones + y × se definen de modo que la suma de un par ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d+ b c , b d ) es un par y el producto de un par ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c , b d ) es un par. Puede demostrarse que, si estas sumas y productos se especifican correctamente, las leyes fundamentales de la aritmética se cumplen para estos pares y que los pares del tipo ( a , 1) son abstractamente idénticos a los enteros positivos a . Además, b × ( a , b ) = a , de modo que el par ( a , b) es abstractamente idéntica a la fracción a / b.

Numeros irracionales

Se sabía por los Pitágoras (seguidores del antiguo matemático griego Pitágoras) que, dado un segmento de línea recta a y un segmento de unidad u, no siempre es posible encontrar una unidad fraccionaria de tal manera que tanto a y u, son múltiplos de ella. Por ejemplo, si los lados de un triángulo derecho isósceles tienen longitud 1, entonces por el teorema de Pitágoras la hipotenusa tiene una longitud cuyo cuadrado debe ser 2. Pero no existe ningún número racional cuyo cuadrado es 2.

Eudoxo de Cnidus , contemporáneo de Platón, estableció la técnica necesaria para extender los números más allá de los racionales. Su contribución, una de las más importantes en la historia de las matemáticas , se incluyó en Elementos de Euclides y en otros lugares, y luego permaneció inactiva hasta el período moderno de crecimiento del análisis matemático en Alemania en el siglo XIX.

Se acostumbra asumir intuitivamente que, correspondiente a cada segmento de línea y cada unidad de longitud, existe un número (llamado número real positivo) que representa la longitud del segmento de línea. No todos esos números son racionales, pero cada uno puede aproximarse arbitrariamente de cerca mediante un número racional. Es decir, si x es un positivo número real y ε es cualquier número positivo racional, sin importar lo pequeña que es posible encontrar dos números racionales positivos a y b a poca distancia el uno del otro ε tal que x es entre ellos; en símbolos, dado cualquier ε> 0, existen números racionales positivos a y b tales que b -a <ε y a < x < b . En los problemas de medición, los números irracionales generalmente se reemplazan por aproximaciones racionales adecuadas.

Un desarrollo riguroso de los números irracionales está más allá del alcance de la aritmética. Se introducen de manera más satisfactoria por medio de cortes de Dedekind, como los introdujo el matemático alemán Richard Dedekind , o secuencias de racionales, como las introdujo Eudoxo y las desarrolló el matemático alemán Georg Cantor . Estos métodos se discuten en el análisis .

El empleo de números irracionales aumenta enormemente el alcance y la utilidad de la aritmética. Por ejemplo, si n es cualquier número entero y a es cualquier número real positivo, existe un número real positivo únicoenésima raíz den √ a , llamado n- ésimo raíz de una , cuya n ésima potencia es una . El símbolo raízRaíz cuadrada de√es una r convencional de raíz , o " raíz ". El término evolución a veces se aplica al proceso de encontrar una aproximación racional a un n º raíz.