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Polinomios

Un polinomio es una suma algebraica de monomios, por ejemplo: 3x - 2xyz6x + 4y + 1. Traer un polinomio a una forma estándar significa traer todos sus miembros a una forma estándar y luego traer miembros similares. Al sumar y restar polinomios, se utilizan las leyes estándar de suma y resta de expresiones.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, debes multiplicar todos los términos del polinomio por este monomio y sumar el producto resultante. Después de eso, el polinomio resultante debe llevarse a la forma estándar.

Fórmulas de multiplicación abreviadas

  1. (a \ pm b) ^ 2 = a ^ 2 \ pm 2ab + b ^ 2
  2. (a \ pm b) ^ 3 = a ^ 3 \ pm 3a ^ 2 b + 3ab ^ 2 \ pm b ^ 3 o (a \ pm b) ^ 3 = a ^ 3 \ pm b ^ 3 \ pm 3ab (a \ pm b).
  3. a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b)
  4. a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
  5. a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
  6. (a_1 + a_2 + \ ldots + a_n) ^ 2 = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + \ ldots + a_n ^ 2 + 2a_1 a_2 + 2a_1 a_3 + \ ldots + 2a_ {n - 1} a_n
  7. a ^ n - b ^ n = (a - b) (a ^ {n - 1} + a ^ {n - 2} b + \ ldots + ab ^ {n - 2} + b ^ {n - 1})

Para elevar un binomio a cualquier potencia natural, se usa la siguiente fórmula, llamada fórmula binomial de Newton:

(a + b) ^ n = C_n ^ 0 a ^ n + C_n ^ 1 a ^ {n - 1} b + C_n ^ 2 a ^ {n - 2} b ^ 2 + \ ldots + C_n ^ {n - 2 } a ^ 2 b ^ {n - 2} + C_n ^ {n - 1} ab ^ {n - 1} + C_n ^ nb ^ n,

donde C_n ^ k está el elemento en el klugar en la nortelínea del triángulo de Pascal (ver más abajo):

n = 0 1 (a + b) ^ 0 = 1
n = 1 1 \, \, \, \, \, 1 (a + b) ^ 1 = 1a + 1b
n = 2 1 \, \, \, \, \, 2 \, \, \, \, \, 1 (a + b) ^ 2 = 1a ^ 2 + 2b + 1b ^ 2
n = 3 1 \, \, \, \, \, 3 \, \, \, \, \, 3 \, \, \, \, \, 1 (a + b) ^ 3 = 1a ^ 3 + 3a ^ 2 b + 3ab ^ 2 + 1b ^ 3
n = 4 1 \, \, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, 6 \, \, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, 1 (a + b) ^ 4 = 1a ^ 4 + 4a ^ 3 b + 6a ^ 2 b ^ 2 + 4ab ^ 3 + 1b ^ 4

Los números en cada línea subsiguiente del triángulo de Pascal se obtienen sumando los números correspondientes de la línea anterior y son los coeficientes de expansión para la línea dada norte. En este caso, los exponentes del número unadisminuyen de norte0y los exponentes del número segundoaumentan de 0norte.

Polinomios en una variable

Una expresión de la forma P (x) = a_n x ^ n + a_ {n - 1} x ^ {n - 1} + \ ldots + a_1 x + a_0, donde a_n, \, a_ {n - 1}, \, \ ldots, \, a_0están algunos números y a_n \ ne 0, se llama polinomio de grado norte desde X .

Se dice que dos polinomios son idénticamente iguales si sus valores numéricos coinciden para todos los valores X. Polinomios P (x)y son Q (x)idénticamente iguales si y solo si coinciden, es decir los coeficientes en los mismos grados de Xestos polinomios son los mismos.

Al dividir un polinomio P (x)por un polinomio S (x)(por ejemplo, una «esquina») obtenemos un polinomio Q (x)(cociente incompleto) y un resto, un polinomio R (x)(en el caso de que el resto R (x)sea ​​cero, el polinomio Q (x)se llama cociente). Si P (x)es el dividendo, S (x)es el divisor, entonces P (x)representamos el polinomio como P (x) = S (x) \ cdot Q (x) + R (x). Además, la suma de los grados de los polinomios Q (x)S (x)es igual al grado del polinomio P (x), y el grado del resto es R (x)menor que el grado del divisor S (x).

El esquema de Horner

(el esquema de dividir un polinomio P (x)por un binomio x- \ alpha)

Sea el rresto de la división del polinomio P (x) = a_n x ^ n + a_ {n - 1} x ^ {n - 1} + \ ldots + a_1 x + a_0por el binomio x- \ alphaP (x) = b_ {n - 1} x ^ {n - 1} + b_ {n - 2} x ^ {n - 2} + \ ldots + b_1 x + b_0sea ​​el cociente.

Entonces, la siguiente regla es válida para determinar los coeficientes b_ky el resto r:

b_ {n - 1} = a_nb_ {k - 1} = \ alpha b_k + a_k, ( ); r = \ alpha b_0 + a_0

Es conveniente reescribir esta regla en forma de la siguiente tabla (esquema de Horner):

  un a_n-1 \ ldots a_1 a_0
\ alpha b_ {n-1} = a_n b_ {n-2} = \ alpha b_ {n-1} + a_ {n-1} \ ldots b_0 = \ alpha b_1 + a_1 R = \ alpha b_0 + a_0

Teorema de bezout

Teorema de Bezout. El resto de dividir un polinomio P (x)por un binomio x - \ alphaes igual al valor de este polinomio en x = \ alpha.

Corolario 1:

p (\ alpha \,) = 0 \ Leftrightarrow r = 0

Por tanto, un número \ alphaes la raíz de un polinomio P (x)si y solo si el polinomio P (x)es divisible por un binomio x - \ alphasin residuo.

Si un polinomio P (x)es divisible sin residuo por (x - \ alpha \,) ^ k, pero no divisible sin residuo por (x - \ alpha \,) ^ {k + 1}, entonces el número \ alphase llama raíz de multiplicidad k del polinomio P (x).

Corolario 1. Un polinomio de P (x)grado nortetiene como máximo norteraíces.

Corolario 2. Si un polinomio de P (x)grado nortetiene norteraíces (entre las cuales puede haber raíces iguales), entonces se puede representar como:

P (x) = a_n (x - \ alpha _1) (x - \ alpha _2) \ ldots (x - \ alpha _n)

Teorema de vieta

Teorema de Vieta. Si un polinomio de P (x)grado nortetiene norteraíces diferentes \ alpha _1, \, \ alpha _2, \, \ ldots, \, a_n, entonces se cumplen las siguientes relaciones:

\ left \ {\ begin {array} {l} \ alpha \, _ 1 \, + \ alpha \, _ 2 \, + \ ldots + \ alpha \, _ n \, = - \ frac {{a_ {n - 1} }} {{a_n}}, \\ \ alpha \, _ 1 \ alpha \, _ 2 \, + \ alpha \, _ 1 \ alpha \, _ 3 \, + \ ldots + \ alpha \, _ {n - 1} \ alpha \, _ n \, = \ frac {{a_ {n - 2}}} {{a_n}}, \\ \ ldots, \\ \ alpha \, _ 1 \ cdot \ alpha \, _ 2 \ cdot \, \ ldots \ cdot \ alpha \, _ n \, = (- 1) ^ n \ cdot \ frac {{a_0}} {{a_n}}. \\ \ end {matriz} \ derecha.

Comentario. Las fórmulas de Vieta siguen siendo válidas en presencia de múltiples raíces, pero en este caso, cada raíz debe contarse tantas veces como su multiplicidad.

 

Polinomios en una variable

 

Una expresión de la forma P (x) = a_n x ^ n + a_ {n - 1} x ^ {n - 1} + \ ldots + a_1 x + a_0, donde a_n, \, a_ {n - 1}, \, \ ldots, \, a_0están algunos números y a_n \ ne 0, se llama polinomio de grado norte desde X .

Se dice que dos polinomios son idénticamente iguales si sus valores numéricos coinciden para todos los valores X. Polinomios P (x)y son Q (x)idénticamente iguales si y solo si coinciden, es decir los coeficientes en los mismos grados de Xestos polinomios son los mismos.

Al dividir un polinomio P (x)por un polinomio S (x)(por ejemplo, una «esquina») obtenemos un polinomio Q (x)(cociente incompleto) y un resto, un polinomio R (x)(en el caso de que el resto R (x)sea ​​cero, el polinomio Q (x)se llama cociente). Si P (x)es el dividendo, S (x)es el divisor, entonces P (x)representamos el polinomio como P (x) = S (x) \ cdot Q (x) + R (x). Además, la suma de los grados de los polinomios Q (x)S (x)es igual al grado del polinomio P (x), y el grado del resto es R (x)menor que el grado del divisor S (x).

 

El esquema de Horner

(el esquema de dividir un polinomio P (x)por un binomio x- \ alpha)

Sea el rresto de la división del polinomio P (x) = a_n x ^ n + a_ {n - 1} x ^ {n - 1} + \ ldots + a_1 x + a_0por el binomio x- \ alphaP (x) = b_ {n - 1} x ^ {n - 1} + b_ {n - 2} x ^ {n - 2} + \ ldots + b_1 x + b_0sea ​​el cociente.

Entonces, la siguiente regla es válida para determinar los coeficientes b_ky el resto r:

b_ {n - 1} = a_nb_ {k - 1} = \ alpha b_k + a_k, ( ); r = \ alpha b_0 + a_0

Es conveniente reescribir esta regla en forma de la siguiente tabla (esquema de Horner):

  un a_n-1 \ ldots a_1 a_0
\ alpha b_ {n-1} = a_n b_ {n-2} = \ alpha b_ {n-1} + a_ {n-1} \ ldots b_0 = \ alpha b_1 + a_1 R = \ alpha b_0 + a_0

 

Teorema de bezout

Teorema de Bezout El resto de dividir un polinomio P (x)por un binomio x - \ alphaes igual al valor de este polinomio en x = \ alpha.

Corolario 1:

p (\ alpha \,) = 0 \ Leftrightarrow r = 0

Por tanto, un número \ alphaes la raíz de un polinomio P (x)si y solo si el polinomio P (x)es divisible por un binomio x - \ alphasin residuo.

Si un polinomio P (x)es divisible sin residuo por (x - \ alpha \,) ^ k, pero no divisible sin residuo por (x - \ alpha \,) ^ {k + 1}, entonces el número \ alphase llama raíz de multiplicidad k del polinomio P (x).

Corolario 1. Un polinomio de P (x)grado nortetiene como máximo norteraíces.

Corolario 2. Si un polinomio de P (x)grado nortetiene norteraíces (entre las cuales puede haber raíces iguales), entonces se puede representar como:

P (x) = a_n (x - \ alpha _1) (x - \ alpha _2) \ ldots (x - \ alpha _n)

Teorema de vieta

Teorema de Vieta. Si un polinomio de P (x)grado nortetiene norteraíces diferentes \ alpha _1, \, \ alpha _2, \, \ ldots, \, a_n, entonces se cumplen las siguientes relaciones:

\ left \ {\ begin {array} {l} \ alpha \, _ 1 \, + \ alpha \, _ 2 \, + \ ldots + \ alpha \, _ n \, = - \ frac {{a_ {n - 1} }} {{a_n}}, \\ \ alpha \, _ 1 \ alpha \, _ 2 \, + \ alpha \, _ 1 \ alpha \, _ 3 \, + \ ldots + \ alpha \, _ {n - 1} \ alpha \, _ n \, = \ frac {{a_ {n - 2}}} {{a_n}}, \\ \ ldots, \\ \ alpha \, _ 1 \ cdot \ alpha \, _ 2 \ cdot \, \ ldots \ cdot \ alpha \, _ n \, = (- 1) ^ n \ cdot \ frac {{a_0}} {{a_n}}. \\ \ end {matriz} \ derecha.

Comentario. Las fórmulas de Vieta siguen siendo válidas en presencia de múltiples raíces, pero en este caso, cada raíz debe contarse tantas veces como su multiplicidad.

Funcion exponencial

La función y = a ^ x, donde a> 0a \ ne 1se llama función exponencial .

Propiedades de la función y = a ^ x:

  • D (a ^ x) = \ mathbb {R};
  • E (a ^ x) = (0; + \ infty);
  • La función aumenta en a> 1y disminuye en 0 <a <1;
  • y (0) = 1
 

Que es la raiz de un Polinomio?

La raíz o cero de un polinomio no es mas que los números que hacen cero un polinomio. Así que su valor numérico es cero; es decir, que:

x = d es una raíz de F(x) si F (d) = 0

Si tienes un polinomio F(x), se llama raíz o cero del mismo a cualquier solución de la ecuación. Así:

F(x)=0

Como dato adicional es importante saber que, geométricamente, la raíz de un polinomio representa la abscisa del punto donde la gráfica de = () intercepta el eje de las X.

Ejercicio No. 1:ejercicio de raices de polinomios

Halle las raíces del siguiente polinomio:

F(x) = X2 – 5x + 6

Si aplicamos el concepto antes mencionado, sus raíces serán las soluciones de la ecuación de segundo grado:

x2 − 5x + 6= 0

Así:

x2 = 5x – 6

  Le damos valores aleatorios a x para hallar el valor de la incógnita.

Para x=2

Sustituimos en la ecuación y queda que x2 = 5(2) – 6 = 4 Resolvemos la raíz de 2 y resulta que al despejar  x = √ 4= 2

Entonces x1=2

Para x=3

Sustituimos de igual forma en la ecuación original y queda que: x2= 5(3) – 6=9 Resolvemos la raíz de x2 y resulta que al despejar x= √9=3

Entonces x2=3

Ejercicio No. 2: ejercicio de raices de polinomios.

Halle las raíces del siguiente polinomio:  G(x) =2×2 + 5x + 5 Si aplicamos el concepto antes mencionado, sus raíces serán las soluciones de la ecuación de segundo grado: 2×2+ 5x+ 5=0 raices de polinomios Así: Le damos valores aleatorios a x para hallar el valor de la incógnita

Para =

Sustituimos en la ecuación y queda que: raices de polinomios Resolvemos la raíz de x2 y resulta que al despejar x= √5 = 2,23

Entonces x1= 2,23

Para x=2

Sustituimos de igual forma en la ecuación original y queda que:

raices de polinomios

Resolvemos la raíz de y resulta que al despejar: raices de polinomios

Entonces x2 = 2,73

Propiedades de las raices de un polinomio

  • Si los coeficientes de un polinomio son reales si   es una raíz de ese polinomio, entonces también lo es aibVer Teorema de la raíz conjugada compleja.
  • Si un polinomio con coeficientes racionales tiene  a+√b, donde a,b son racionales y √b es irracional, entonces a−√b también es una raíz.

Resta de polinomios

Se trata de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

Teniendo en cuenta que existe el elemento simétrico se puede definir la sustracción de polinomios como un caso peculiar de la adición que trata de sumar el primer polinomio al opuesto del segundo polinomio.

A(x) – B(x) = A(x) + {-B(x)}

¿Cómo restar polinomios con distintos exponentes?

Si quieres restar dos o mas polinomios solo tienes que sumar algebraicamente los coeficientes de aquellos términos que tienen parte literal igual. O sea, que tanto las variables como los exponentes deben ser iguales en los términos que están siendo sumados.

Ejercicio nº1 de resta de polinomios

Resta de polinomios

Ejercicio nº2 de resta de polinomios

Resta de polinomios

Ejercicio nº3 de resta de polinomios

Resto de polinomios

División de polinomios

La división de un polinomio consiste en algoritmos que hacen posible que un polinomio sea dividido por un polinomio que no sea nulo. Es como una forma globalizada de la estrategia aritmética de la división larga. Puede hacerse a mano con facilidad, puesto que separa el problema de división compleja en otras divisiones mas pequeñas.

Considere la división de un polinomio A(x) entre uno B(x). Se debe saber qué división será únicamente factible cuando el grado del polinomio dividendo es mayor o igual que el grado del polinomio divisor. Al hallar el polinomio cociente D(x) y el polinomio residuo R(x), estos deben comprobar la relación:

A(x)= B(x):D(x)+R(x)

Para poder determinar el cociente y el residuo de A(x):B(x) se cuenta con diversos métodos. Podemos considerar el conocido método de la galera:

  1. Ordene y complete de forma decreciente los polinomios.
  2. Divida el primer termino del dividendo entre entre el primero del divisor y coloque el resultado como primer termino del cociente.
  3. Multiplique el resultado anterior por el divisor, coloque el resultado con signo modificado por debajo del dividendo y desarrolle la suma algebraica.

División exacta de polinomios

Considera dos polinomios de dividendo S(x) y divisor T(x). Cuando una división de polinomios es exacta, el resto es igual a cero. Al momento de dividir el polinomio S(x) entre el polinomio T(x) se halla el polinomio cociente U(x) de tal forma que al multiplicarse por el divisor resulte en el dividendo

S(x)= T(x):U(x)

Para este caso particular se puede decir que la división es exacta y que el dividendo S(x) es múltiplo del divisor T(x) y del cociente U(x). Puede decirse de igual forma que T(x) y U(x) son divisores de S(x)

Ejemplo resuelto de división exacta

 

 

División exacta de polinomios

Puesto que el residuo R(x)=0 entonces la división es exacta.

División entera de polinomios (o inexacta)

Trate de visualizar dos polinomios, el dividendo L(x) y el divisor S(x). Para toda división entera de polinomios el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras el dividendo L(x) no es múltiplo del divisor S(x) y normalmente se cumple la propiedad fundamental de la división.

L(x) = S(x): C(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el residuo

El grado del polinomio residuo R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor S(x)

Ejemplo resuelto de división entera/inexacta

En virtud de que el residuo R(x)≠0 podemos concluir que la división es entera (o inexacta).