Numeros reales
¿Que son los numeros reales?
Un numero real es un número que se puede encontrar en la recta numérica. Estos son los números que normalmente usamos y aplicamos en aplicaciones del mundo real.
El tipo de número que usamos normalmente, como 1, 15,82, −0,1, 3/4, etc. sean estos numeros positivos o negativos, grandes o pequeños, números enteros o decimales son todos números reales.
¿Por qué se llaman numeros reales?
Porque no son números imaginarios. Los números reales no tenían nombre antes de que se pensara en los números imaginarios. Se les llamó "reales" porque no eran imaginarios. ¡Esa es la respuesta real!
La recta numerica es como una recta geométrica .
Se elige el cero como un punto en la recta para que sea el "origen". Los puntos a la derecha son positivos y los puntos a la izquierda son negativos.
Cualquier punto de la recta numerica es un número real:
- Los números pueden ser enteros (como 7)
- Los números racional (como 20/9)
- Los números irracional (como π )
Propiedades de los numeros reales
Las propiedades de los números reales son: conmutativos, asociativos y distributivos :
Conmutativo ejemplo
a + b = b + a 2 + 6 = 6 + 2
ab = ba 4 × 2 = 2 × 4
De asociación ejemplo
(a + b) + c = a + (b + c) (1 + 6) + 3 = 1 + (6 + 3)
(ab) c = a (bc) (4 × 2) × 5 = 4 × (2 × 5)
Distributivo ejemplo
a × (b + c) = ab + ac 3 × (6 + 2) = 3 × 6 + 3 × 2
(b + c) × a = ba + ca (6 + 2) × 3 = 6 × 3 + 2 × 3
Los números reales están cerrados (el resultado también es un número real) bajo suma y multiplicación:
Cierre ejemplo
a + b es real 2 + 3 = 5 es real
a × b es real 6 × 2 = 12 es real
La suma de cero deja el número real sin cambios, al igual que para multiplicar por 1:
Identidad ejemplo
a + 0 = a 6 + 0 = 6
a × 1 = a 6 × 1 = 6
Para la suma, el inverso de un número real es su negativo, y para la multiplicación, el inverso es su recíproco:
Aditivo inverso ejemplo
a + (−a) = 0 6 + (−6) = 0
Multiplicación inversa ejemplo
a × (1 / a) = 1 6 × (1/6) = 1
Pero no para 0 ya que 1/0 no está definido
Multiplicar por cero da cero (la propiedad del producto cero ):
Producto cero ejemplo
Si ab = 0 entonces a = 0, ob = 0, o ambos
a × 0 = 0 × a = 0 5 × 0 = 0 × 5 = 0
Multiplicar dos negativos da como resultado un positivo , y multiplicar un negativo y un positivo da como resultado un negativo:
Negación ejemplo
−1 × (−a) = - (- a) = a −1 × (−5) = - (- 5) = 5
(−a) (- b) = ab (−3) (- 6) = 3 × 6 = 18
(−a) (b) = (a) (- b) = - (ab) −3 × 6 = 3 × −6 = −18.
Le dejare esta pregunta para responder en los comentarios ¿Los números reales mayores que cero se consideran…?
Clasificación de los numeros reales
- Numeros naturales
- Números enteros
- Enteros
- Fracciones
- Numeros racionales
- Numeros irracionales
El diagrama de "pila de embudos" a continuación nos ayudará con la clasificacion y propiedades de los numeros reales. Pero primero, necesitamos describir qué tipo de elementos se incluyen en cada grupo de números. Cada grupo o conjunto de números está representado por un embudo.
Descripción de cada conjunto de números reales
Los números naturales (también conocidos como números de conteo) son los números que usamos para contar. Comienza en 1, seguido de 2, luego 3, y así sucesivamente.
Los números enteros son una ligera "mejora" de los números naturales porque simplemente agregamos el elemento cero al conjunto actual de números naturales. Piense en los números enteros como números naturales junto con el cero.
Los enteros incluyen todos los números enteros junto con los "negativos" de los números naturales.
Los números racionales son números que se pueden expresar como una razón de números enteros. Eso significa que si podemos escribir un número dado como una fracción donde el numerador y el denominador son ambos números enteros; entonces es un número racional.
Simbólicamente, podemos escribir un número racional como:
Precaución: el denominador no puede ser igual a cero.
Los números racionales también pueden aparecer en forma decimal. Si el número decimal termina o se repite, entonces es posible escribirlo como una fracción con un numerador y un denominador enteros. Por lo tanto, también es racional.
Los números irracionales son todos los números que cuando se escriben en forma decimal no se repiten ni terminan.
Los números reales incluyen números racionales e irracionales. Recuerda que bajo el conjunto de números racionales, tenemos las sub categorías o subconjuntos de enteros, números enteros y números naturales.
Ejemplos de clasificación de números reales
Ejemplo 1 : un número natural también es un número entero.
El conjunto de números enteros incluye el número cero y todos los números naturales. Esta es una declaración verdadera.
Ejemplo 2 : un entero es siempre un número entero.
El conjunto de números enteros se compone del número cero, los números naturales y los "negativos" de los números naturales. Eso significa que algunos enteros son números enteros, pero no todos.
Por ejemplo, es un Entero pero no un número entero. Esta afirmación es falsa.
Ejemplo 3 : Todo número racional también es un número entero.
La palabra "todos" significa "todos". ¿Puedes pensar en un número racional que no sea un entero? Solo necesita un contra ejemplo para demostrar que esta afirmación es falsa.
La fracción 1/2 es un ejemplo de un número racional que NO es un número entero. Entonces esta afirmación es falsa.
Ejemplo 4 : Todo entero es un número racional.
Esto es cierto porque cada entero se puede escribir como una fracción con un denominador de 1.
Ejemplo 5 : Todo número natural es un número entero, un número entero y un número racional.
Al revisar las descripciones anteriores, los números naturales se encuentran dentro de los conjuntos de números enteros, enteros y números racionales. Eso lo convierte en una declaración verdadera.
También podemos usar el diagrama de embudos anterior para ayudarnos a responder esta pregunta. Si echamos agua en el "embudo de los números naturales", el agua también debe fluir por todos los embudos que se encuentran debajo. Así, pasando por los embudos de los números enteros, enteros y números racionales.
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