El conjunto de números complejos es el conjunto de todos los pares posibles ( x, y ) de números reales, sobre los que se definen las operaciones de suma, resta y multiplicación según las reglas que se describen a continuación.
El conjunto de números complejos es una extensión del conjunto de números reales, ya que el conjunto de números reales está contenido en él en forma de pares ( x , 0) .
Los números complejos dados por pares (0, y ) se denominan números puramente imaginarios .
Para números complejos, existen varias formas de notación: notación algebraica, notación trigonométrica y notación exponencial (exponencial) .
La forma algebraica es una forma de notación para números complejos en la que el número complejo z, dado por un par de números reales ( x, y ) , se escribe como
| z = x + iy. | (1) |
donde se usa el símbolo i , llamado unidad imaginaria .
El número x se llama la parte real (real) del número complejo z = x + i y y se denota por Re z .
El número y se llama la parte imaginaria del número complejo z = x + i y y se denota por Im z .
Los números complejos con Im z = 0 son números reales .
Los números complejos con Re z = 0 son números puramente imaginarios .
Las formas de notación trigonométrica y exponencial para números complejos se presentarán un poco más adelante.
Suma, resta y multiplicación de números complejos escritos en forma algebraica
La suma y resta de números complejos z 1 = x 1 + y i 1 y z 2 = x 2 + i y 2 se llevó a cabo de acuerdo con las reglas de suma y resta de binomios (polinomios) x Se 1 + i y 1 y x 2 + y i 2 , es decir, según las fórmulasz 1 + z 2 = x 1 + iy 1 + x 2 + iy 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 ),
z 1 – z 2 = x 1 + iy 1 – ( x 2 + iy 2 ) = x 1 – x 2 + i ( y 1 – y 2 ).
La multiplicación de los números complejos z 1 = x 1 + i y 1 y z 2 = x 2 + y i 2 , así como las operaciones de suma y resta, se lleva a cabo de acuerdo con las reglas de la multiplicación de binomios (polinomios) , sin embargo, la igualdad más importante es tener en cuenta, que tiene la forma:
| yo 2 = – 1. | (2) |
Por esta razónz 1 z 2 = ( x 1 + iy 1 ) ( x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = = x 1 x 2 + i x 1 y 2 + i y 1 x 2 – y
1 y 2 = x 1 x 2 – y 1 y 2 + i ( x 1 y 2 + i x 2 y 1 ).
Números complejos conjugados
Dos números complejos z = x + iy y 
en los que las partes reales son iguales y las imaginarias difieren en signo, se denominan números complejos conjugados .
La operación de transición de un número complejo a su número complejo conjugado se llama operación de conjugación compleja , denotada por una barra horizontal sobre el número complejo y satisface las siguientes propiedades:
 |
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
Módulo de números complejos
El módulo de un número complejo z = x + i y es un número real denotado por | z | y determinado por la fórmula
Para un número complejo arbitrario z, la siguiente igualdad es verdadera:
y para números complejos arbitrarios z 1 y z 2 se cumplen las siguientes desigualdades:
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
Observación . Si z es un número real, entonces su módulo | z | es igual a su valor absoluto .
División de números complejos escritos en forma algebraica
La división del número complejo z 1 = x 1 + i y 1 por un número complejo distinto de cero z 2 = x 2 + i y 2 se realiza mediante la fórmula
Usando la notación para el módulo de un número complejo y la conjugación compleja, el cociente de la división de números complejos se puede representar de la siguiente forma:
Está prohibida la división por cero.
Representación de números complejos por vectores de radio del plano de coordenadas
Considere un plano con un sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy dado en él y recuerde que un vector de radio en un plano es un vector cuyo origen coincide con el origen del sistema de coordenadas.
Llamemos al plano considerado un plano complejo , y representaremos un número complejo z = x + i y por un vector de radio con coordenadas ( x, y ).
Llamamos al eje de abscisas Ox eje real y al eje de ordenadas Oy – eje imaginario .
Con esta representación de números complejos, la suma de números complejos corresponde a la suma de vectores de radio , y el producto de un número complejo por un número real corresponde al producto de un vector de radio por este número .
Argumento de número complejo
Considere el vector de radio de un número complejo z arbitrario, pero distinto de cero .
El argumento del número complejo z es el ángulo φ entre la dirección positiva del eje real y el vector de radio z .
El argumento del número complejo z se considera positivo si la rotación desde la dirección positiva del eje real al vector de radio z ocurre en sentido antihorario , y negativa , en el caso de rotación en sentido horario (ver Fig.).
Se considera que el número complejo no tiene argumento cero.
Dado que el argumento de cualquier número complejo se determina hasta el término 2 k π , donde k es un entero arbitrario, entonces se introduce el valor principal del argumento , denotado por arg z y satisfaciendo las desigualdades:
Entonces la igualdad resulta ser cierta:
Si para un número complejo z = x + i y conocemos su módulo r = | z | y su argumento φ , entonces podemos encontrar las partes real e imaginaria mediante las fórmulas
 |
(3) |
Si el número complejo z = x + i y se da en forma algebraica, es decir sabemos que los números de x y y , a continuación, el módulo de este número, por supuesto, se determina por la fórmula
 |
(4) |
y el argumento se determina de acuerdo con la siguiente Tabla 1.
Para no sobrecargar el registro acordamos, sin especificarlo, denotar un entero arbitrario en la Tabla 1 con el símbolo k .
Tabla 1. – Fórmulas para determinar el argumento del número z = x + i y
| Ubicación del número z |
Las x y Y signos | Valor del argumento principal | Argumento | Ejemplos de |
| Positivas reales semieje |
x > 0,y = 0 | 0 | φ = 2 k π |  |
| Primer cuadrante |
x > 0,y > 0 |  |
 |
 |
| Positivas imaginarios semieje |
x = 0,y > 0 |  |
 |
 |
| Segundo cuadrante |
x <0,y > 0 |  |
 |
 |
| Negativos reales semieje |
x <0,y = 0 | π | φ = π + 2 k π |  |
| Tercer cuadrante |
x <0,y <0 |  |
 |
 |
| Negativas imaginarios semieje |
x = 0,y <0 |  |
 |
 |
| Cuarto cuadrante |
x > 0,y <0 |  |
 |
 |
Notación trigonométrica de un número complejo
De la fórmula (3) se deduce que cualquier número complejo distinto de cero z = x + i y se puede escribir en la forma
| z = r (cos φ + i sen φ), | (cinco) |
donde r y φ son el módulo y el argumento de este número, respectivamente, y el módulo satisface la desigualdad r > 0.
La notación de un número complejo en la forma (5) se llama notación trigonométrica de un número complejo .
Fórmula de Euler. Notación exponencial de un número complejo
En el curso «Teoría de funciones de una variable compleja», que estudian los estudiantes en instituciones de educación superior, se prueba una fórmula importante, denominada fórmula de Euler :
| cos φ + yo pecado φ = e yo φ . | (6) |
De la fórmula de Euler (6) y la forma trigonométrica del número complejo (5) se deduce que cualquier número complejo distinto de cero z = x + i y se puede escribir en la forma
| z = re yo φ , | (7) |
donde r y φ son el módulo y el argumento de este número, respectivamente, y el módulo satisface la desigualdad r > 0.
El registro de un número complejo en la forma (7) se denomina forma exponencial (exponencial) de registrar un número complejo .
La fórmula (7) implica, en particular, las siguientes igualdades:
y de las fórmulas (4) y (6) se deduce que el módulo del número complejo
cos φ + yo pecado φ,
o, que es lo mismo, los números e i φ , para cualquier valor de φ igual a 1.
Multiplicación, división y elevación a potencia natural de números complejos escritos en forma exponencial
La notación exponencial de un número complejo es muy conveniente para realizar multiplicaciones, divisiones y elevar a una potencia natural de números complejos.
De hecho, la multiplicación y división de dos números complejos arbitrarios 
y 
escritos en forma exponencial, se realiza según fórmulas
Por lo tanto, al multiplicar números complejos, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos.
Al dividir dos números complejos, el módulo de su cociente es igual al cociente de sus módulos y el argumento del cociente es igual a la diferencia entre los argumentos del dividendo y el divisor .
Elevar un número complejo z = r e i φ a una potencia natural se lleva a cabo mediante la fórmula
En otras palabras, cuando un número complejo se eleva a una potencia que es un número natural, el módulo del número se eleva a esta potencia y el argumento se multiplica por el exponente .
Extraer la raíz natural de un numero complejo
Sea 
un número complejo arbitrario distinto de cero.
La raíz n- ésima del número z 0 , donde nos 
referimos a un número tan complejo z = re i φ , que es una solución a la ecuación
| z n = z 0 . | (8) |
Para resolver la ecuación (8), la reescribimos en la forma
y tenga en cuenta que dos números complejos escritos en forma exponencial son iguales si y solo si sus valores absolutos son iguales , y la diferencia de los argumentos es 2 k π , donde k es un número entero arbitrario. Por esta razón, las igualdades
que resultan en las igualdades
 |
(nueve) |
De las fórmulas (9) se deduce que la ecuación (8) tiene n raíces diferentes
 |
(diez) |
Dónde
además, en el plano complejo, los extremos de los vectores de radio z k para k = 0, …, n – 1 están ubicados en los vértices de un n – gon regular inscrito en un círculo de radio 
centrado en el origen.
Observación . En el caso n = 2, la ecuación (8) tiene dos raíces diferentes z 1 y z 2 , que difieren en el signo:
z 2 = – z 1 .
Ejemplo 1 . Encuentra todas las raíces de una ecuación
z 3 = – 8 yo .
Solución . Porque el
entonces por la fórmula (10) obtenemos:
Por consiguiente,
Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación
z 2 + 2 z + 2 = 0.
Solución . Dado que el discriminante de esta ecuación cuadrática es negativo, no tiene raíces reales. Para encontrar raíces complejas, seleccionamos, como en el caso real, un cuadrado completo:
Porque
entonces las soluciones de la ecuación tienen la forma
z 1 = – 1 + yo , z 2 = – 1 – yo .