Minimo común multiplo

DEFINICIÓN 1 . Si un número natural   a   se divide por un entero positivo   b,  el número   a   se llama número   múltiple b.  

DEFINICIÓN 2 . El múltiplo común de varios números naturales es un número natural que es un múltiplo de cada uno de estos números.

En particular, el múltiplo común de varios números es el producto de estos números.

DEFINICIÓN 3 . El mínimo común múltiplo de varios números naturales se llama el mínimo común múltiplo (LCM) de estos números.

Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo

Considere el algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números usando el siguiente ejemplo.

EJEMPLO . Encuentra el mínimo común múltiplo de   100, 750   y   800.

      SOLUCION . Dividamos estos números en factores primos :

El factor primo   2   en la primera factorización está en la potencia de   2,   en la segunda factorización - en la potencia de   1,   en la tercera factorización - en la potencia de   5.   Denotemos el mayor de estos grados con la letra   k.   Obviamente,   k  = 5.

El factor primo   3 entra en la potencia de   0   en la primera factorización   (en otras palabras, el factor   3   no se incluye en la primera factorización en absoluto), en la segunda factorización entra en la potencia de   1,   en la tercera factorización, en la potencia de   0.   Denotemos el mayor de estos grados con la letra   l.   Obviamente,   l  = 1.

El factor primo   5   en la primera factorización está en la potencia de   2,   en la segunda factorización - en la potencia de   3,   en la tercera factorización - en la potencia de   2.   Denotemos el mayor de estos grados con la letra   m. Obviamente   m  = 3.

Ahora considere el número:

ese número es el mínimo común múltiplo de   100, 750   y   800.

RESPUESTA :   120 00.

La relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales.

DECLARACIÓN . El mínimo común múltiplo de dos números se puede encontrar dividiendo el producto de esos números por su máximo común divisor .

De hecho, considere, por ejemplo, dos números:   10   y   75.   Al expandir estos números en factores primos, obtenemos

Usando algoritmos para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de números, encontramos que el máximo común divisor de estos números es   5  , y el mínimo común múltiplo de estos números es   150.   Dado que el producto de los números   10   y   75   es   750,   la siguiente relación es verdadera

según sea necesario para mostrar.

NOTA . Dado que el máximo común divisor de dos números coprimos es   1,   el mínimo común múltiplo de dos números coprimos es igual a su producto.