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Máximo común divisor

Divisor común de varios números naturales. Máximo común divisor.

DEFINICIÓN 1 . El divisor común de varios números naturales es el número que es el divisor de cada uno de estos números.

DEFINICIÓN 2 . El factor común más grande se llama factor común máximo (MCD) .

EJEMPLO 1 . Los divisores comunes de   30, 45   y   60   son   1, 3, 5, 15.   El máximo común divisor de estos números será

MCD (30, 45, 10) = 15.

DEFINICIÓN 3 . Si el máximo común divisor de varios números es   1,   estos números se denominan coprimos .

EJEMPLO 2 . Los números   40   y   3   serán números primos entre sí, pero los números   56   y   21   no son coprimos, ya que   56   y   21   tienen un divisor común de  7,   que es mayor que   1.

NOTA . Si el numerador de una fracción y el denominador de una fracción son números primos mutuamente, entonces dicha fracción es irreducible .

Algoritmo para encontrar el máximo común divisor

Considere un algoritmo para encontrar el máximo común divisor de varios números usando el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3 . Encuentra el máximo común divisor de   100, 750   y   800.

SOLUCION . Dividamos estos números en factores primos :

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El factor primo   2   en la primera factorización está en la potencia de   2,   en la segunda factorización – en la potencia de   1,   en la tercera factorización – en la potencia de   5.   Denotemos el más pequeño de estos grados con la letra   a.   Obviamente,   a  = 1.

      El factor primo   3 entra en la potencia de   0   en la primera factorización   (en otras palabras, el factor   3   no se incluye en la primera factorización en absoluto), en la segunda factorización entra en la potencia de   1,   en la tercera factorización, en la potencia de   0.   Denotemos el más pequeño de estos grados con la letra   b.  Obviamente   b  = 0.

El factor primo   5   en la primera factorización está en la potencia de   2,   en la segunda factorización – en la potencia de   3  , en la tercera factorización – en la potencia de   2.   Denotemos el más pequeño de estos grados con la letra   c.  Obviamente,   c  = 2.

      Ahora considere el número:

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Este número es el máximo común divisor de   100, 750   y   800.

RESPUESTA :   50.

NOTA . Para cancelar una fracción , debes dividir su numerador y denominador por su máximo común divisor.