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Logaritmo y sus propiedades. Cómo resolver logaritmos

El logaritmo es siempre una función que depende de dos variables. Para evitar confusiones, recuerde la definición de logaritmo: este es el grado en el que se debe elevar la base para obtener un argumento.

Definición de un logaritmo, identidad logarítmica básica

 Considere dos números reales arbitrarios   a   y   b que satisface las condiciones

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales (1)

Definición . El logaritmo del número   b   en base   a   es el grado en el que el número a debe elevarse   para obtener el número   b.

 En otras palabras, la   base   a logaritmo de   b   es el número   x que es la solución de la ecuación

x = b. (2)

 La prueba de que la solución a la ecuación (2) existe y es única está más allá del alcance del currículo escolar.

      Para el logaritmo de   b   en base   a,   usa la notación:

log a b .

 Por lo tanto, para todos los números reales   a   y   b condiciones que satisfacen (1), la igualdad

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

que a menudo se denomina identidad logarítmica básica .

 Observación . Llamamos la atención especial al hecho de que en la resolución de la ecuación (2) que estamos buscando el exponente , y cuando la solución de la ecuación

a = b.

buscamos la base del grado , que se calcula mediante la fórmula

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

y en el caso de que   a   sea ​​un número natural, es una raíz de una potencia natural de   b .

      Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación

3 = 81.

      Solución . Usando el concepto de raíz cúbica y las propiedades de los grados, obtenemos

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

      Respuesta : Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales.

      Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación

x = 81.

      Solución . Aprovechando que el número   81   es la cuarta potencia del número   3,   obtenemos:

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

      Respuesta :   4.

      Tarea . Demuestra que el número

registro 2 3

irracional.

      Solución . Supongamos lo contrario, es decir. supongamos que el número indicado es racional . Entonces hay una fracción irreducible

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales,

cuyo numerador y denominador son números naturales y tal que la igualdad es verdadera:

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

      De la definición del logaritmo, esto implica la igualdad:

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que resulta en igualdad:

m = 3 norte .

      Pero la última igualdad es imposible, ya que su lado izquierdo es un número par y su lado derecho es impar. La contradicción resultante prueba el enunciado requerido en el problema.

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos que se enumeran a continuación se derivan de la identidad logarítmica básica:

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propiedad principal de los logaritmos ),
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propiedad principal de los logaritmos ),
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fórmula para la transición a una nueva base de logaritmos ),
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Usar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas

      Para no cometer errores al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas, las propiedades de los logaritmos enumeradas en la sección anterior deben aplicarse con cuidado y cuidado.

      Por ejemplo, si resolver una ecuación o desigualdad requiere transformar la expresión

log a ( f ( x ) 2 ),

entonces en lugar de la fórmula

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

la fórmula debe aplicarse

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

porque de lo contrario puedes perder raíces.

      Por la misma razón, al convertir expresiones

log a ( f ( x ) g ( x ))    yPropiedades de los logaritmos

deberías usar las fórmulas:

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

y

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      Observación . Para aquellos que deseen mejorar sus conocimientos y habilidades en la resolución de ecuaciones y desigualdades con logaritmos, le recomendamos que se familiarice con nuestros tutoriales «Resolución de ecuaciones logarítmicas» y «Resolución de desigualdades logarítmicas» .

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

Los logaritmos decimales y los logaritmos naturales       ocupan un lugar importante en las matemáticas, la física y en muchas otras áreas de las ciencias naturales y la tecnología .

      Los logaritmos decimales son logaritmos con base   10 , y la base de los logaritmos naturales es el número irracional y trascendental   e , que está determinado por la fórmula

Propiedades de los logaritmos de los logaritmos identidad logarítmica básica logaritmos naturales y decimales

cuya prueba va más allá del currículo escolar.

      Para logaritmos decimales y naturales, se usa la notación, respectivamente:

lg b       y       ln b ,

además

lg e = 0,43429 …,

ln 10 = 2,30259 …

      Los gráficos de funciones logarítmicas se presentan en la sección «Gráficos de funciones exponenciales, exponenciales y logarítmicas» de nuestro libro de referencia.