Logaritmo y sus propiedades. Cómo resolver logaritmos

El logaritmo es siempre una función que depende de dos variables. Para evitar confusiones, recuerde la definición de logaritmo: este es el grado en el que se debe elevar la base para obtener un argumento.

Definición de un logaritmo, identidad logarítmica básica

 Considere dos números reales arbitrarios   a   y   b que satisface las condiciones

(1)

Definición . El logaritmo del número   b   en base   a   es el grado en el que el número a debe elevarse   para obtener el número   b.

 En otras palabras, la   base   a logaritmo de   b   es el número   x que es la solución de la ecuación

a x = b.

(2)

 La prueba de que la solución a la ecuación (2) existe y es única está más allá del alcance del currículo escolar.

      Para el logaritmo de   b   en base   a,   usa la notación:

log _a b .

 Por lo tanto, para todos los números reales   a   y   b condiciones que satisfacen (1), la igualdad

que a menudo se denomina identidad logarítmica básica .

 Observación . Llamamos la atención especial al hecho de que en la resolución de la ecuación (2) que estamos buscando el exponente , y cuando la solución de la ecuación

x ^a = b.

buscamos la base del grado , que se calcula mediante la fórmula

y en el caso de que   a   sea ​​un número natural, es una raíz de una potencia natural de   b .

      Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación

x ³ = 81.

      Solución . Usando el concepto de raíz cúbica y las propiedades de los grados, obtenemos

      Respuesta : .

      Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación

3 ^x = 81.

      Solución . Aprovechando que el número   81   es la cuarta potencia del número   3,   obtenemos:

      Respuesta :   4.

      Tarea . Demuestra que el número

registro ₂ 3

irracional.

      Solución . Supongamos lo contrario, es decir. supongamos que el número indicado es racional . Entonces hay una fracción irreducible

,

cuyo numerador y denominador son números naturales y tal que la igualdad es verdadera:

      De la definición del logaritmo, esto implica la igualdad:

que resulta en igualdad:

2 ^m = 3 ^norte .

      Pero la última igualdad es imposible, ya que su lado izquierdo es un número par y su lado derecho es impar. La contradicción resultante prueba el enunciado requerido en el problema.

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos que se enumeran a continuación se derivan de la identidad logarítmica básica:

	( propiedad principal de los logaritmos ),
	( propiedad principal de los logaritmos ),
	( fórmula para la transición a una nueva base de logaritmos ),

Usar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas

      Para no cometer errores al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas, las propiedades de los logaritmos enumeradas en la sección anterior deben aplicarse con cuidado y cuidado.

      Por ejemplo, si resolver una ecuación o desigualdad requiere transformar la expresión

log _a ( f ( x ) ² ),

entonces en lugar de la fórmula

la fórmula debe aplicarse

porque de lo contrario puedes perder raíces.

      Por la misma razón, al convertir expresiones

log _a ( f ( x ) g ( x ))    y

deberías usar las fórmulas:

y

      Observación . Para aquellos que deseen mejorar sus conocimientos y habilidades en la resolución de ecuaciones y desigualdades con logaritmos, le recomendamos que se familiarice con nuestros tutoriales "Resolución de ecuaciones logarítmicas" y "Resolución de desigualdades logarítmicas" .

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

Los logaritmos decimales y los logaritmos naturales       ocupan un lugar importante en las matemáticas, la física y en muchas otras áreas de las ciencias naturales y la tecnología .

      Los logaritmos decimales son logaritmos con base   10 , y la base de los logaritmos naturales es el número irracional y trascendental   e , que está determinado por la fórmula

cuya prueba va más allá del currículo escolar.

      Para logaritmos decimales y naturales, se usa la notación, respectivamente:

lg b       y       ln b ,

además

lg e = 0,43429 ...,

ln 10 = 2,30259 ...

      Los gráficos de funciones logarítmicas se presentan en la sección "Gráficos de funciones exponenciales, exponenciales y logarítmicas" de nuestro libro de referencia.