Interés simple y compuesto - Provisión de préstamos basados en tasas de interés
Acuerdo de crédito. Dinero de intereses
Desde el momento en que apareció el dinero en la Tierra, aparecieron personas que comenzaron a prestar dinero, obteniendo ganancias de él.
Definición 1 . La persona que presta dinero se llama acreedor . La persona que pide dinero prestado se llama prestatario .
El dinero se presta de acuerdo con un contrato de préstamo y se lleva a cabo de varias formas: emitiendo un préstamo, vendiendo bienes a crédito, colocando dinero en una cuenta de depósito, recibiendo una factura, comprando bonos, etc.
Al concluir un contrato de préstamo, el prestamista y el prestatario acuerdan el monto del préstamo, el momento y el método de reembolso, así como el nivel de remuneración del prestamista.
Definición 2 . Pago por prestar dinero, es decir la diferencia entre el dinero devuelto por el prestatario al prestamista y el dinero entregado por el prestamista al prestatario se denomina dinero de interés .
Vamos a utilizar la siguiente notación:
Z - la cantidad de dinero entregada por el prestamista al prestatario endeudado,
K es la cantidad de dinero devuelta por el prestatario al prestamista,
D - dinero de intereses .
Por definición 2
| K = Z + D. | (1) |
Solo consideraremos dichos contratos de préstamo cuando la deuda, junto con el dinero de los intereses (monto K ), sea devuelta por el prestatario al prestamista en un solo pago al final del plazo establecido por el contrato de préstamo .
Tasa de interés anual
Definición 3 . La tasa de interés anual es la relación entre el dinero que devenga intereses y el dinero entregado por el prestamista al prestatario endeudado cuando se otorga un préstamo por un período de 1 año.
Vamos a denotar por las letras P y P el interés anual tasa, expresada en porcentajes y acciones, respectivamente.
Por definición de interés
,
y por definición de la tasa de interés anual
 | (2) |
Corolario 1 . Si los valores de p y se Z conocidos , entonces, la reescritura de fórmula (2) en la forma
D = pZ,
y, usando la fórmula (1), obtenemos la relación para calcular la suma K :
K = Z + D = Z + pZ,
de lo que se deduce que al otorgar un préstamo por un período de 1 año
| K = Z (1 + p ). | (3) |
Corolario 2 . Si los valores de p y se K conocidos , entonces la suma Z se puede encontrar a partir de la fórmula (3) :
 | (4) |
Esquema de interés simple
Consideraremos el caso en el que el plazo de amortización de la deuda t se expresa en años, por ejemplo,
(años), t = 2 (años), t = 3.4 (años), ...
Nuestro objetivo es describir dos formas de calcular los montos K devueltos por el prestatario al prestamista (cálculos que utilizan esquemas de interés simple y compuesto basados en la tasa de interés ).
Tenga en cuenta especialmente que conocemos los valores de p y Z , y se calculan las sumas de K.
Definición 4 . El cálculo bajo el esquema de interés simple basado en la tasa de interés anual es que el prestamista recibe el mismo dinero de interés por cada año del préstamo , que es el P por ciento del monto de la deuda Z pagada al prestatario.
Consideremos primero el caso en el que un préstamo calculado según el esquema de interés simple se proporciona para un número entero de años, y denotamos con los símbolos K 1 , K 1 , ..., K n las cantidades devueltas por el prestatario al prestamista (teniendo en cuenta el dinero de los intereses ) por utilizar el préstamo durante t = 1, 2, ..., n años, respectivamente.
Por definición 4
K 1 = Z + pZ ,
K 2 = Z + 2 pZ = K 1 + pZ ,
...
K n = Z + npZ = K n - 1 + pZ ,
a donde sigue
Corolario 3 . Las cantidades K 1 , K 1 , ..., K n , devueltas por el prestatario al prestamista (teniendo en cuenta los intereses monetarios ) por utilizar el préstamo en el marco del esquema de interés simple basado en la tasa de interés anual para t = 1, 2, ..., n años, determinado por la fórmula
| K m = Z (1 + mp ), m = 1, 2, ..., n | (cinco) |
y haz una progresión aritmética con el primer término Z (1 + p ) y la diferencia pZ.
Pasemos ahora a la consideración del caso cuando un préstamo calculado según el esquema de interés simple basado en la tasa de interés anual se proporciona para un número arbitrario (no necesariamente entero) de años t (en años), y generalizando la relación (5), formulamos lo siguiente
Declaración 1 . Si el contrato de préstamo prevé el cálculo del esquema de interés simple basado en la tasa de interés anual , luego de t años el prestamista recibe del prestatario el monto
| K ( t ) = Z (1 + pt ), | (6) |
y el dinero de interés se calcula mediante la fórmula
D ( t ) = Z (1 + pt ) - Z = Zpt .
Observación 1 . Para t = n, es decir en el caso de que se otorgue un préstamo para un número entero de años, los cálculos de las fórmulas (5) y (6) coinciden.
Régimen de interés compuesto
Definición 5 . El cálculo de acuerdo con el esquema de interés compuesto basado en la tasa de interés anual es que el prestamista recibe dinero de interés por cada año del préstamo otorgado , que es el P por ciento del monto total de la deuda acumulada al comienzo de este año (incluido el dinero de interés) .
Procediendo por analogía con el interés simple , primero consideramos el caso en el que se otorga un préstamo con un esquema de interés compuesto para un número entero de años , y denotamos con los símbolos K 1 , K 1 , ..., K n las cantidades devueltas por el prestatario al prestamista por usar el préstamo durante t = 1, 2, ..., n años, respectivamente.
Por definición 6
K 1 = Z (1 + p ),
K 2 = Z (1 + p ) 2 = K 1 (1 + p ),
...
K norte = Z (1 + p ) norte = K norte - 1 (1 + p ),
a donde sigue
Corolario 4 . Se determinan las cantidades K 1 , K 1 , ..., K n , devueltas por el prestatario al prestamista (teniendo en cuenta el dinero de los intereses ) por utilizar el préstamo bajo el esquema de interés compuesto con una tasa de interés anual para t = 1, 2, ..., n años proporción
| K metro = Z (1 + p ) metro , metro = 1, 2, ..., norte | (7) |
y formar una progresión geométrica con el primer término Z (1 + p ) y el denominador (1 + p ).
Pasemos ahora a considerar el caso en el que se otorga un préstamo con un esquema de interés compuesto basado en la tasa de interés anual para un número arbitrario (no necesariamente entero) de años t (en años) y, generalizando la relación (7), formulamos lo siguiente
Declaración 2 . Si el contrato de préstamo prevé el cálculo del interés compuesto sobre la base de la tasa de interés anual , entonces, después de t años, el prestamista recibe del prestatario la cantidad
| K ( t ) = Z (1 + p ) t , | (8) |
y el dinero de interés se calcula mediante la fórmula
D ( t ) = Z (1 + p ) t - Z .
Tasas de interés cambiantes (flotantes)
En los dos ejemplos siguientes, el préstamo (préstamo) se proporciona sobre la base de tasas de interés variables (flotantes) .
Ejemplo 1 . El prestatario recibió un préstamo de 1.000.000 de rublos, que debe reembolsarse en un solo pago en 0,75 años. El cálculo se realiza según el esquema de interés simple , siendo los primeros 0,25 años la tasa de interés anual igual al 12%, y el tiempo restante la tasa de interés anual igual al 16%. Encuentre la cantidad que se devolverá al prestamista y el dinero de los intereses.
Solución . Dado que, al calcular utilizando el esquema de interés simple basado en la tasa de interés, el dinero de interés se carga sobre el monto de la deuda Z de acuerdo con la fórmula (6) , entonces
K ( t ) = Z (1 + p 1 t 1 + p 2 t 2 ),
Dónde
p 1 = 0,12; t 1 = 0,25; p 2 = 0,16; t 2 = 0,5.
De este modo
,
D = K - Z = 1.100.000 - 1.000.000 = 100.000.
Respuesta . El prestatario devuelve 1,100,000 rublos al prestamista , el dinero de los intereses es 100,000 rublos.
Ejemplo 2 . El prestatario recibió un préstamo de 1,000,000 de rublos, que debe reembolsarse en un pago en 5 años. El cálculo se lleva a cabo según el esquema de interés compuesto , con los primeros 2 años de la tasa anual de interés que son 12%, y el resto de las veces la tasa de interés anual es de 16%. Encuentre la cantidad que se devolverá al prestamista y el dinero de los intereses .
Solución . Dado que, al calcular de acuerdo con el esquema de interés compuesto basado en la tasa de interés, el dinero de interés para cada año se carga sobre la cantidad total de deuda acumulada en ese momento de acuerdo con la fórmula (8) , entonces
,
Dónde
p 1 = 0,12; t 1 = 2; p 2 = 0,16; t 2 = 3.
De este modo
K = 1.000.000 (1 + 0,12) 2 (1 + 0,16) 3 = 1957987,94;
D = K - Z = 1957987,94 - 1.000.000 = 957987,94.
Respuesta . El prestatario devuelve 1.957.987,94 rublos al prestamista , el dinero de los intereses es 957.987,94 rublos.
Ejemplos de resolución de problemas
Objetivo 1 . El empresario se dirigió al banco con una solicitud de préstamo por un monto de 1,000,000 de rublos por un período de 1 año. El banco le otorgó este préstamo con una tasa de interés anual del 20%, sujeto a la devolución del préstamo en una sola cuota al final del plazo . ¿Qué cantidad debe devolver el empresario al banco en un año? ¿Qué dinero de intereses recibirá el banco?
Solución . En el problema, se conocen los valores de Z y p , pero necesitas encontrar K y D. Porque el
Z = 1.000.000; p = 0,2;
y el empresario devuelve al banco la suma K igual a
Z + 20% de Z,
es decir
120% de Z,
luego
K = 1,2Z = 1200000, D = 200000.
Respuesta . El empresario devuelve 1.200.000 rublos al banco, el interés del banco es igual a 200.000 rublos.
Objetivo 2 . Después del primer mes, el precio de los bienes aumentó en un 30%, y después del mes siguiente, el precio de los bienes disminuyó en un 10%. ¿Cuánto ha cambiado el precio original del producto en 2 meses?
Solución . Denotemos el precio original del producto con la letra a. Al final del primer mes, el precio de los bienes se volvió igual a 1,3 a . De acuerdo con la condición del problema para el segundo mes, el nuevo precio de los bienes (la base para calcular los porcentajes ), igual a 1.3 a , disminuyó en un 10% y pasó a ser igual a
,
Respuesta . El precio original del producto aumentó un 17% en 2 meses .
Objetivo 3 . El precio del producto aumentó un 25%. ¿En qué porcentaje se debe reducir el precio del producto para convertirlo en el original?
Solución . Denotemos el precio original del producto con la letra c. Después de un aumento del 25% , el precio del nuevo producto es 1,25 c . Por lo tanto, para volver al nivel c original , el nuevo precio de los bienes ( la base para el cálculo de los intereses ) , debe disminuir en la cantidad de 0,25 c . Por lo tanto, debemos determinar qué porcentaje es el número 0.25 s del número 1.25 s :
Respuesta . El precio de la mercancía debe reducirse en un 20%.
Problema 4 . El depósito bancario, intacto durante el año, aumenta un 10% a finales de este año . ¿En qué porcentaje aumentará el depósito si permanece intacto durante tres años?
Solución . Denotemos el monto del depósito inicial con la letra Z y realicemos el cálculo de acuerdo con el esquema de interés compuesto . Usando la fórmula (8) , encontramos
K (3) = Z (1 + 0.1) 3 = 1.331 Z
Así, la cantidad de dinero Z, sin tocar durante tres años, se incrementa en la cantidad de 0.331 Z ; es decir, en un 33,1%.
Respuesta . La contribución aumentará en un 33,1%.
Tasa de inflación
Definición 8 . La tasa de inflación mensual es el número de porcentajes en los que los precios de los bienes aumentan por mes en comparación con el mes anterior .
Tarea 5 . La tasa de inflación mensual es del 5%. ¿Cuánto aumentan los precios por año?
Solución . La inflación es un proceso compuesto. Si denotamos el precio de un producto el primer día del año con la letra Z, entonces usando la fórmula (8), encontramos el precio de un producto en 12 meses:
K (12) = Z (1 + 0.05) 12 = 1.7959 Z
En consecuencia, desde principios de año, el precio de los bienes Z ha aumentado en 0,7959 Z ; aquellos. aumentó en un 79,59%.
Respuesta . Los precios suben un 79,59% durante el año .
Observación 2 . Si para resolver este problema, en lugar de la fórmula (8), se utilizó la fórmula (6), que se refiere al cálculo de acuerdo con el esquema de un interés simple , que es un grave error, a continuación, nos darían una respuesta incorrecta, lo que indica que a una tasa mensual de inflación de 5 % los precios del año aumentan en un 60%.
Deja una respuesta