Geometria del espacio

La geometria del espacio (también llamada geometria espacial) es la rama de la geometria que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

La geometria del espacio tambien conocida como Geometria solida se ocupa de formas tridimensionales. Algunos ejemplos de formas tridimensionales son cubos, sólidos rectangulares, prismas, cilindros, esferas, conos y pirámides. Veremos las fórmulas de volumen y las fórmulas de área de superficie de los sólidos.

La geometria del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

La geometría del espacio es la geometría  tridimensional.

Geometría en Tres dimensiones: Se llama tridimensional, o 3D, porque hay tres dimensiones : ancho, profundidad y altura.

Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de formas en geometría sólida. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos, explicaciones y hojas de trabajo para cada forma.

Cuerpos geométricos

Llamamos cuerpos geometricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.

La geometria espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X, Y, Z):

1. Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
2. Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales).
3. Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros dos).

Teoría de rectas y planos

• Representación De Rectas

Las proyección de una recta R se obtiene proyectando dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones de esos puntos sobre el plano vertical, a’ y b’, se obtiene la proyección vertical r' de las recta y uniendo las proyecciones de los dos puntos sobre el plano horizontal, ay b, se obtiene la proyección horizontal r de la recta.

Las proyecciones r y r' definen completamente la posición dela recta R en el espacio. Basta trazar por r un plano P perpendicular al plano H y por r' un plano Q perpendicular al plano V para obtener R como recta de intersección de esos dos planos.

Dos puntos importantes de una recta son sus trazas o puntos de intersección con los planos de proyección .La intersección de la recta con el plano horizontal es un punto H cuyas proyecciones h-h’, con la cota o y la intersección de la recta con el plano vertical es un punto V, de proyecciones v-v’, con alejamiento O.

Si se conocen las proyecciones r'-r de una recta y se requiere hallar sus trazas, la forma de proceder sería la siguiente:

Trazas horizontal: Observar la proyección vertical r', seguirla hasta que encuentre la línea de tierra en un punto que será acentuado h', por ese punto dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a la proyección horizontal r en un punto que será sin acentuar h. El punto h-h' es la traza de la recta con el plano horizontal de proyección.

Traza vertical: Observar la proyección horizontal r , seguirla hasta que encuentre a la línea de tierra en un punto que será sin acentuar v, desde ahí dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical r' en un punto que será acentuado v' . El punto v'-v es la traza de la recta con el plano vertical de proyección.

• Representación De Planos

Un plano puede estar definido por tres puntos, por recta y un punto, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan.

La forma más habitual de representar un plano en diédrica es mediante dos rectas que se cortan, particular mente cuando esas rectas son las intersecciones del plano con los planos de proyección V y H.

Un plano P (transparente) que corta al plano V según la recta AB y al plano H según la recta CD. AB y CD son las trazas del plano P son los planos V y H respectivamente, ambas rectas se cortan en un mismo punto E de la línea de tierra.

1º plano: Una vez hecho el abatimiento del plano V sobre el plano H para poder hacer la representación sobre el papel del dibujo, la recta AB queda definida por su proyección vertical a'-b' y por su proyección horizontal a-b, coincidente con la línea de tierra. La recta CD queda definida por su proyección horizontal c-d. Ambas rectas se cortan en el punto e'-e de la línea de tierra.

2º plano: Es necesario tener presente que la traza vertical P' es una recta contenida en la línea de tierra el plano V, de proyecciones r'-r. Con la proyección horizontal r coincidente con la línea de tierra, y que la traza horizontal P es una recta contenida en el plano H, de proyecciones s'-s, con las proyección vertical s' coincidente con la línea de tierra.

3º plano: Un punto situado en una traza vertical P' del plano como A, tiene su proyección vertical a' sobre P' y la proyección horizontal a en la línea de tierra. Un punto situado en la traza horizontal P del plano, como C, tiene su proyección horizontal c sobre P y la proyección vertical c' en la línea de tierra.

Geometria del espacio o Geometria Solida

La diferencia más importante entre la geometría euclidiana plana y sólida es que los seres humanos pueden mirar el plano "desde arriba", mientras que el espacio tridimensional no se puede mirar "desde fuera". En consecuencia, los conocimientos intuitivos son más difíciles de obtener para la geometría sólida que para la geometría plana.

Algunos conceptos, como proporciones y ángulos, permanecen sin cambios de un plano a una geometría sólida. Para otros conceptos familiares, existen analogías; más notablemente, volumen por área y formas tridimensionales para formas bidimensionales (esfera por círculo , tetraedro por triángulo, caja por rectángulo). Sin embargo, la teoría de los tetraedros no es tan rica como lo es para los triángulos. La investigación activa en geometría euclidiana de dimensiones superiores incluye empaquetaduras de convexidad y esfera y sus aplicaciones en criptología y cristalografía.

Que es un Cubos

Un cubo es una figura tridimensional con seis lados cuadrados iguales.

La figura de arriba muestra un cubo. Las líneas punteadas indican los bordes ocultos a su vista.

Si s es la longitud de uno de sus lados, entonces el volumen del cubo es s × s × s

Volumen del cubo = s 3

El área de cada lado de un cubo es s 2 . Dado que un cubo tiene seis lados en forma de cuadrado, su área de superficie total es 6 veces s 2 .

Área de superficie de un cubo = 6s 2.

Prismas rectangulares o cuboides

• Un prisma rectangular también se llama sólido rectangular o cuboide.
• En un prisma rectangular, la longitud, el ancho y la altura pueden tener diferentes longitudes.

El volumen del prisma rectangular anterior sería el producto de la longitud, el ancho y la altura que es

Volumen del prisma rectangular = lwh

El área total de las superficies superior e inferior es lw + lw = 2lw
El área total de las superficies frontal y posterior es lh + lh = 2lh
El área total de las dos superficies laterales es wh + wh = 2wh

Área de superficie del prisma rectangular = 2lw + 2lh + 2wh = 2 (lw + lh + wh)

Que es Prismas

Un prisma es un sólido que tiene dos bases paralelas congruentes que son polígonos. Los polígonos forman las bases del prisma y la longitud del borde que une las dos bases se llama altura.

Base en forma de triángulo	Base en forma de pentágono

Los diagramas de arriba muestran dos prismas: uno con una base en forma de triángulo llamado prisma triangular y otro con una base en forma de pentágono llamada prisma pentagonal.

Un sólido rectangular es un prisma con una base en forma de rectángulo y se puede llamar prisma rectangular.

El volumen de un prisma está dado por el producto del área de su base y su altura.

Volumen del prisma = área de la base × altura

El área de la superficie de un prisma es igual a 2 veces el área de la base más el perímetro de la base por la altura.

Área de la superficie del prisma = 2 × área de la base + perímetro de la base × altura.

Aqui te dejo uno de mis videos favoritos en donde explico que es el volumen, que es un prisma, cuales son las partes de un prisma y como calcular el volumen de un prisma.

Que es un Cilindros

Un cilindro es un sólido con dos círculos congruentes unidos por una superficie curva.

En la figura anterior, el radio de la base circular es ry la altura es h. El volumen del cilindro es el área de la base × altura.

Volumen del cilindro = πr 2 h

La red de un cilindro sólido consta de 2 círculos y un rectángulo. La superficie curva se abre para formar un rectángulo.

Área de superficie = 2 × área del círculo + área del rectángulo

Área de superficie del cilindro = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h).

Que es una Esferas

Una esfera es un sólido con todos sus puntos a la misma distancia del centro.

Conos

Un cono circular tiene una base circular, que está conectada por una superficie curva a su vértice. Un cono se llama cono circular recto, si la línea desde el vértice del cono hasta el centro de su base es perpendicular a la base.

La red de un cono sólido consta de un círculo pequeño y un sector de un círculo más grande. El arco del sector tiene la misma longitud que la circunferencia del círculo más pequeño.

Área de la superficie del cono = Área del sector + área del círculo
= πrs + πr 2 = πr (r + s)

Que es una Pirámides

Una pirámide es un sólido con una base poligonal y conectado por caras triangulares a su vértice. Una pirámide es una pirámide regular si su base es un polígono regular y las caras triangulares son todos triángulos isósceles congruentes.

Redes de un sólido

Un área de estudio estrechamente relacionada con la geometría sólida son las redes de un sólido. Imagina hacer cortes a lo largo de algunos bordes de un sólido y abrirlo para formar una figura plana. La figura plana se llama red del sólido.

Las siguientes figuras muestran las dos posibles redes para el cubo.

¿Cómo calcular el volumen de prismas, cilindros, pirámides y conos?

Volúmenes de prismas y cilindros = Área de la base × Altura
Volúmenes de pirámides y conos = 1/3 × Área de la base × Altura
Ejemplos para mostrar cómo calcular los volúmenes de prismas, cilindros, pirámides y conos.