El concepto de números reales, números racionales e irracionales.
Los números enteros y las fracciones racionales (fracciones simples y números mixtos) forman el conjunto de números racionales, que generalmente se denota con la letra Q.
Cada uno de los números racionales se puede representar como
,
donde m es un número entero y n es un número natural.
Al convertir fracciones racionales en fracciones decimales , se obtienen fracciones decimales periódicas finitas e infinitas .
Números
etc. son ejemplos de números irracionales .
Los números irracionales
Los números irracionales no se pueden representar como una fracción, cuyo numerador es un número entero y el denominador es un número natural.
Cuando convierte números irracionales a decimales, obtiene infinitas fracciones decimales no periódicas . El conjunto de números irracionales es infinito.
El conjunto de números racionales e irracionales constituye el conjunto de números reales (reales) .
El conjunto de números reales se denota con la letra R.
Irracionalidad del número 
Demostremos la irracionalidad de un número 
por contradicción. Para este propósito, suponga que el número es un número racional. Entonces hay una fracción de la forma
,
satisfaciendo la igualdad
y uno en el que el numerador y el denominador son números naturales que no tienen divisores primos comunes .
Usando esta igualdad, obtenemos:
Esto implica que el número m 2 es un número par y, por lo tanto, el número m es un número par. De hecho, si asumimos lo contrario, es decir, supongamos que el número m es un número impar, entonces hay un entero k que satisface la relación
m = 2 k + 1.
Por consiguiente,
m 2 = (2 k + 1) 2 = 4 m 2 + 4 k +1,
aquellos. m es extraño. La contradicción resultante prueba que el número m es par. Por tanto, hay un entero k que satisface la relación
m = 2 k .
Por lo tanto,
Esto implica que el número n 2 es par y, por tanto, el número n es par.
Entonces, el número m es par y el número n es par, lo que significa que el número 2 es el divisor común del numerador y el denominador de la fracción.
...
La contradicción resultante prueba que una fracción irreducible que satisface la relación
no existe. En consecuencia, el número es un número irracional, como se requiere.
Aproximaciones decimales
deficientes y abundantes de números irracionales
Analicemos el concepto de aproximaciones decimales de números irracionales con deficiencia y exceso usando un ejemplo específico. Para hacer esto, considere el número irracional
Este número, como cualquier otro número irracional, está representado por una fracción decimal no periódica infinita .
La secuencia de aproximaciones decimales de un número 
con una deficiencia se llama secuencia de fracciones decimales finales, que resultará si se descartan todos los lugares decimales del número , comenzando primero desde el primer punto decimal, luego desde el segundo punto decimal, luego desde el tercer punto decimal, etc.
Si el último decimal de cada aproximación decimal de un número con una deficiencia se incrementa en 1, entonces se obtiene una aproximación decimal del número con un exceso .
El número en sí se ubica entre cada una de sus aproximaciones con una deficiencia y la correspondiente aproximación con un exceso.
Para un número, la secuencia infinita resultante de aproximaciones decimales con una deficiencia y un exceso es la siguiente:
etc.
De la misma manera, puede construir una secuencia de aproximaciones decimales con una deficiencia y un exceso para cualquier número irracional.
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