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Ecuaciones cuadraticas

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es dos. … En esta ecuación La “x” es la variable o bien incógnita y las letras a, b y c son los factores, los cuales pueden tener cualquier valor, salvo que a = 0.

Un trinomio cuadrado con respecto a una variable   x   se llama polinomio

ax 2 + bx + c , (1)

donde a, b y c son  números reales arbitrarios, ySolución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Una ecuación cuadrática en la variable   x   es la ecuación

ax 2 + bx + c = 0, (2)

donde a, b y c son  números reales arbitrarios, ySolución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Una ecuación cuadrática completa  con respecto a la variable   x   es la ecuación

ax 2 + bx + c = 0,

donde a, b y c son  arbitrarias distinto de cero números reales .

      Las ecuaciones cuadráticas incompletas  son ecuaciones cuadráticas de los siguientes tipos:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta
Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta
Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

formula general

ecuaciones cuadraticas ejemplos
ecuaciones cuadraticas ejemplos

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Demostremos cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas usando ejemplos.

Ecuaciones cuadraticas ejemplos

      Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación

2 = 0.

      Solución .

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Respuesta : 0.

      Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación

2 + 3 x = 0. (3)

 Solución . Sacando la variable x   entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación (3)   , reescribimos la ecuación en la forma

x (2 x + 3) = 0. (4)

 Dado que el producto de dos factores es cero si y solo si el primer factor es cero o el segundo factor es cero, de la ecuación (4) obtenemos:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Respuesta : Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta.

      Ejemplo 3 . Resuelve la ecuación

2 – 5 = 0.

      Solución .

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Respuesta : Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta.

      Ejemplo 4 . Resuelve la ecuación

2 + 11 = 0. (cinco)

      Solución . Dado que el lado izquierdo de la ecuación (5) es positivo para todos los valores de la variable   x , y el lado derecho es igual a 0, la ecuación no tiene soluciones.

      Respuesta : Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta.

Seleccionar un cuadrado completo

      La selección de un cuadrado completo  se denomina representación de un trinomio cuadrado (1) en la forma:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (6)

      Para obtener la fórmula (6), realizamos las siguientes transformaciones:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Se obtiene la fórmula (6).

Discriminante

      El discriminante de un trinomio cuadrado (1) es un número denotado por la letra   D   y se calcula mediante la fórmula:

D = b 2 – 4 ac . (7)

      El discriminante de un trinomio cuadrado juega un papel importante, y las diversas propiedades de un trinomio cuadrado dependen del signo que tenga.

      Usando el discriminante, la fórmula (6) se puede reescribir como

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (8)

Factorizar un trinomio cuadrado

      Aprobación . En el caso en que Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta, el trinomio cuadrado (1) se descompone en factores lineales. En el caso de que   D  <0 , el trinomio cuadrado no se puede descomponer en factores lineales.

      Prueba . En el caso de que   D  = 0 , la fórmula (8) es la descomposición del trinomio cuadrado en factores lineales:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (nueve)

      En el caso de que   D  > 0 , la expresión entre corchetes en la fórmula (8) se puede factorizar usando la fórmula de multiplicación reducida «Diferencia de cuadrados» :

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Así, en el caso en que   D  > 0 , la  descomposición del trinomio cuadrado (1) en factores lineales tiene la forma

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (diez)

      En el caso de que  D  <0 , la expresión entre corchetes en la fórmula (8) es la suma de cuadrados y el trinomio cuadrado no se puede factorizar.

      Observación . En el caso de que  D  <0 , el trinomio cuadrado todavía se puede descomponer en factores lineales, pero solo en el campo de los números complejos , pero este material está más allá del alcance del curso escolar.

Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática

      Las fórmulas (9) y (10) producen una fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática .

      De hecho, en el caso en que   D  = 0 , de la fórmula (9) obtenemos:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Por lo tanto, en el caso de que   D  = 0 , la ecuación (1) tiene una raíz única, que se calcula mediante la fórmula

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (once)

      En el caso en que   D  > 0 , de la fórmula (10) obtenemos:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

      Así, en el caso en que   D  > 0 , la ecuación (1) tiene dos raíces diferentes , que se calculan mediante las fórmulas

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (12)
Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (trece)

      Observación 1 . Las fórmulas (12) y (13) a menudo se combinan en una fórmula y se escriben de la siguiente manera:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (catorce)

      Observación 2 . En el caso de que   D  = 0 , ambas fórmulas (12) y (13) se convierten en la fórmula (11). Por lo tanto, a menudo se dice que en el caso en que   D  = 0 , la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces coincidentes calculadas por la fórmula (11), y la fórmula (11) en sí se reescribe en la forma:

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (quince)

      Observación 3 . De acuerdo con el material presentado en la sección «Raíces múltiples de polinomios» , la raíz (11) es la raíz de la ecuación (1) de multiplicidad 2.

      En el caso de que   D  = 0 , la descomposición del trinomio cuadrado en factores lineales (9) se puede reescribir de una manera diferente usando la fórmula (15):

ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) 2 . (dieciséis)

      En el caso en que   D  > 0 , la descomposición del trinomio cuadrado en factores lineales (10) utilizando las fórmulas (12) y (13) se reescribe de la siguiente manera:

ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ). (17)

      Observación 4 . En el caso de que   D  = 0 , las raíces   1  y   x 2  coinciden, y la fórmula (17) toma la forma (16).

Teoremas de Vieta directo y inverso

      Ampliando los corchetes y trayendo términos similares en el lado derecho de la fórmula (17), obtenemos la igualdadax 2 + bx + c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) = a [ 2 – ( 1 + 2 ) x + 2 ] = 2 – a ( 1 + 2 ) x + una 2 .

      Por tanto, dado que la fórmula (17) es una identidad, se deduce que los coeficientes del polinomio

ax 2 + bx + c

son iguales a los coeficientes correspondientes del polinomio

una 2 – una ( 1 + 2 ) x + una 2 .

      Así, las igualdades

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta

que dan como resultado las fórmulas

Solución de ecuaciones cuadráticas de factorización discriminante de un trinomio cuadrático directo e inverso teorema de Vieta (Dieciocho)

      Las fórmulas (18) constituyen el contenido del teorema de Vieta (teorema directo de Vieta) .

      En palabras, el teorema directo de Vieta se formula de la siguiente manera: – “Si los números   1  y   x 2  son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces satisfacen las igualdades (18)”.

      El teorema inverso de Vieta se formula de la siguiente manera: – “Si los números   1  y   x 2  son soluciones del sistema de ecuaciones (18), entonces son las raíces de la ecuación cuadrática (1)”.

      Para aquellos que deseen familiarizarse con ejemplos de soluciones a varios problemas sobre el tema «Ecuaciones cuadráticas», recomendamos nuestro tutorial «Trinomio cuadrático» .

      Las gráficas de parábolas y su solución a desigualdades cuadradas se presentan en la sección “Parábola en el plano de coordenadas. Solución de desigualdades cuadradas ”de nuestro libro de referencia.