Division

En esta lección, aprenderemos a dividir números. La división de números es una operación complicada de aprender y usar. Le recomendamos que tenga paciencia para dominar esta lección hasta el final.

Índice

    ¿Qué es la división?

    Dividir es el acto de dividir algo. Esta son las tres partes de la division: dividendo, divisor y cociente. El dividendo es el que se divide. El divisor es un número que muestra en cuántas partes se debe dividir el dividendo. Lo particular es el resultado real.

    Por ejemplo, digamos que tenemos 4 manzanas:

    ¿Qué es la división?
    ¿Qué es la división?

    Los dividiremos a partes iguales en dos amigos. Luego, la división mostrará cuántas manzanas obtendrá cada uno. No es difícil ver que cada uno obtendrá dos manzanas:

    Problemas de división

    El proceso de dividir cuatro manzanas en dos amigos se puede describir con la siguiente expresión:

    4/2 = 2

    En este ejemplo, las manzanas juegan el papel de dividendo. El papel del divisor lo juegan dos amigos, que muestran en cuántas partes se deben dividir 4 manzanas. El papel del privado lo juegan dos manzanas, que muestran cuánto obtuvo cada uno.

    Hablando de división, puedes pensar de otra manera. Volvamos a la expresión anterior 4/2 = 2 . Puedes mirar el divisor 2 y hacer la pregunta "¿cuántos dos hay en el cuatro?" y respuesta: "dos". De hecho, si agrega dos y dos, obtiene el número 4.

    Para aprender a dividir, debes conocer bien la tabla de multiplicar. ¿Por qué la multiplicación? Después de todo, estamos hablando de división. El punto es que la división es lo opuesto a la multiplicación. Esta frase se puede entender en su sentido literal. Por ejemplo, si 2 × 5 = 10 , entonces 10/5 = 2 .

    Puede verse que la segunda expresión está escrita en orden inverso. Si tenemos dos manzanas y queremos agrandarlas cinco veces, escribimos 2 × 5 = 10. Esto da diez manzanas. Entonces, si queremos reducir estas diez manzanas a dos, entonces escribimos 10/5 = 2

    El signo de división se representa con : y con / pero también puede encontrar dos puntos y un guión ÷.

    Problemas de división

    La división es la inversa de la multiplicación. Empiece a aprender dividiendo el todo en partes iguales, conectando el pensamiento figurativo y lógico del pequeño alumno con la ayuda de imágenes visuales.

    Cuando resuelva ejemplos de división, razone en voz alta con su hijo, pronuncie cuál de los números de la expresión es el dividendo, el divisor y el cociente. Preste atención a los letreros para indicar la acción, muestre la forma de escribir en forma de fracción; si el plan de estudios de la escuela aún no ha tocado este tema, el niño estará encantado de ser el primero en saber algo especial.

    La división larga le permite dividir cálculos de varios dígitos en varios pasos. Este método debe estudiarse luego de consolidar los conceptos básicos y el algoritmo de acciones con números primos enteros.

    Las operaciones matemáticas involucran habilidades analíticas, desarrollan la memoria y, lo más importante, usamos el conocimiento de la aritmética de nivel de escuela primaria todos los días.

    División con resto

    El resto es lo que queda indiviso de la acción de la división.

    Por ejemplo, cinco dividido por dos serán dos y uno en el resto:

    5/2 = 2 (1 resto)

    Puede verificar esto multiplicando:

    (2 × 2) + 1 = 5

    Digamos que tenemos cinco manzanas.

    division

    Los dividiremos a partes iguales en dos amigos. Pero no puedes dividir cinco manzanas enteras por igual. Entonces esta división mostrará que todos obtendrán dos manzanas, y una manzana estará en el resto:

    division
    division

    División por esquina

    Cuando se requiere dividir un gran número, recurren a un método como la división con una esquina.

    Antes de compartir un rincón, una persona debe comprender:

    • división normal de pequeños números;
    • división con resto;
    • multiplicación de columnas;
    • resta en la columna.

    Consideremos la división por una esquina con un ejemplo simple. Suponga que quiere encontrar el valor de la expresión 9/3 . Fuera de la caja, esta expresión se escribe de la siguiente manera:

    division

    División de un número de varios dígitos por un número de un solo dígito

    Este tema puede parecer incomprensible la primera vez. No se apresure a desesperarse y abandonar el entrenamiento. La comprensión llegará de todos modos. Si no de inmediato, un poco más tarde. Lo principal es no rendirse y seguir estudiando mucho.

    En los ejemplos anteriores, dividimos un número de un dígito por un dígito, y esto no nos dio problemas innecesarios. Ahora nos ocuparemos de dividir un número de varios dígitos por un número de un solo dígito.

    Si no está claro qué son los números de uno o varios dígitos, le recomendamos que estudie la lección anterior, que se llama multiplicación .

    Para dividir un número de varios dígitos por uno de un solo dígito, primero debe mirar el primer dígito de este número de varios dígitos y verificar si es mayor que el divisor. Si es más, divida y, si no es así, compruebe si los dos primeros dígitos de un número de varios dígitos son mayores que el divisor. Si los dos primeros dígitos son mayores que el divisor, divida y, si no es así, compruebe si los primeros tres dígitos son mayores que el número de varios dígitos. Y así sucesivamente hasta completar la primera división.

    ¿Difícil? Ni un poco si miramos algunos ejemplos.

    Ejemplo 1 . Halla el valor de la expresión 25/3

    25 es un número de varios dígitos y 3 es un número de un solo dígito. Aplicamos la regla. Veamos el primer dígito de un número de varios dígitos. El primer número es 2. ¿Son dos más que tres? No. Por lo tanto, veremos los dos primeros dígitos de un número de varios dígitos. Los dos primeros dígitos forman el número 25. ¿Veinticinco más que tres? Si mas. Por tanto, realizamos la división del número 25 entre 3.

    ¿Cuántos triples hay en 25? Si la respuesta es difícil la primera vez, puede mirar la tabla de multiplicar por tres. Allí necesitas encontrar una obra que sea menor a 25, pero muy cercana o igual a ella. Si encontramos tal producto, entonces es necesario tomar de allí el multiplicador que dio tal producto:

    tabla de multiplicar de tres

    Esta es una tabla de multiplicar de tres. En él, necesitas encontrar un trabajo que sea menor a 25, pero muy cercano o igual a él. Obviamente este es el trabajo 24, que está resaltado en azul. De esta expresión, es necesario tomar el multiplicador que dio tal producto. Este es un multiplicador de 8, que está sombreado en rojo.

    Este ocho también responde a la pregunta de cuántos triples hay en el número 25.

    Ahora sacamos el resto. Para hacer esto, multiplicamos el cociente por el divisor (8 por 3) y escribimos el número resultante debajo del dividendo:

    la division
    la division

     

    (8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25

    El último resto es siempre menor que el divisor. Si el último resto es mayor que el divisor, esto significa que la división no está completa.

    En el ejemplo anterior, el último resto era el número 1 y el divisor era el número 3. La unidad es menor que tres, por lo que la división está completa. El último resto menor que el divisor indica que no contiene números iguales al divisor.

    En nuestro ejemplo, si hace la pregunta "¿cuántos triples hay en uno?" , entonces la respuesta es "en absoluto", porque 1 no contiene triples, ya que es menor que 3.

    División de números con 0 al final

    Para dividir un número que tiene un cero al final, debe descartar temporalmente este cero, realizar la división habitual y agregar este cero en la respuesta.

    Por ejemplo, divide 120/3

    ¿Cuántos triples hay en 120? Para responder a esta pregunta, descarte temporalmente el cero al final de 120 y divida 12 entre 3, obtenemos 4. Y agregue este cero en el cociente. Como resultado, obtenemos 40:

    Ahora multiplicamos el cociente por el divisor (40 por 3), obtenemos 120. Luego encontramos el resto: 120 - 120 = 0 . El resto es cero. El ejemplo está completo.

    120/3 = 40

    Compruebe 40 × 3 = 120.

    Ejemplos tan simples no necesitan resolverse en un rincón. Basta saber la tabla de multiplicar. Luego, simplemente agregue ceros al final. Por ejemplo:

    12/3 = 4 (dividendo sin ceros finales)

    120/3 = 40 (aquí el dividendo tiene un cero)

    1200/3 = 400 (aquí el dividendo tiene dos ceros)

    12000/3 = 4000 (aquí el dividendo tiene tres ceros)

    Hay una pequeña trampa en este método. Si nota al dividir tales números, nos referimos a la tabla de multiplicar. Imagínese dividir 400 entre 5.

    Partes de la division

    Seguimos estudiando división. En esta lección, veremos conceptos como Maximo Común Denominador y Minimo Comun denominador.

    El tema es bastante aburrido, pero es imperativo entenderlo. Sin comprender este tema, no podrá trabajar de manera efectiva con fracciones, que son un verdadero obstáculo en matemáticas.

    Máximo común divisor

    Definición. El máximo común divisor de los números a y b es el número más grande por el cual un y b son divisible sin resto.

    Para entender bien esta definición, sustituir cualesquiera dos números para las variables de una y b . Por ejemplo, en lugar de la variable a, sustituya el número 12, y en lugar de la variable b, el  número 9. Ahora intentemos leer esta definición:

    El máximo común divisor de 12 y 9 es el número más grande por el cual 12 y 9 son divisibles sin residuo.

    De la definición se desprende claramente que estamos hablando de un divisor común de los números 12 y 9. Además, el divisor es el más grande de todos los divisores existentes. Es necesario encontrar este máximo factor común (MCD).

    Para encontrar el máximo común divisor de dos números, se utilizan tres métodos. El primer método lleva bastante tiempo, pero le permite comprender bien la esencia del tema y sentir todo su significado.

    El segundo y tercer método son bastante simples y permiten encontrar rápidamente GCD. Echemos un vistazo a las tres formas. Y cuál aplicar en la práctica depende de usted.

    La primera forma es encontrar todos los posibles divisores de dos números y elegir el más grande. Considere este método con el siguiente ejemplo: encuentre el máximo común divisor de 12 y 9 .

    Primero, encontraremos todos los posibles divisores del número 12. Para hacer esto, dividiremos 12 por todos los divisores en el rango de 1 a 12. Si el divisor nos permite dividir 12 sin un residuo, entonces lo resaltaremos en azul y haga la explicación apropiada entre paréntesis.

    • 12: 1 = 12 (12 dividido por 1 sin resto, por lo que 1 es un divisor de 12)
    • 12: 2 = 6 (12 dividido entre 2 sin un residuo, por lo que 2 es un divisor de 12)
    • 12: 3 = 4 (12 dividido entre 3 sin un residuo, por lo que 3 es un divisor de 12)
    • 12: 4 = 3 (12 dividido entre 4 sin un resto, por lo que 4 es un divisor de 12)
    • 12: 5 = 2 (2 en el resto) (12 no se divide entre 5 sin un resto, por lo que 5 no es un divisor de 12)
    • 12: 6 = 2 (12 dividido entre 6 sin un residuo, por lo que 6 es un divisor de 12)
    • 12: 7 = 1 (5 en el resto) (12 no se divide entre 7 sin un resto, por lo que 7 no es divisor de 12)
    • 12: 8 = 1 (4 en el resto) (12 no se divide entre 8 sin un resto, por lo que 8 no es divisor de 12)
    • 12: 9 = 1 (3 en el resto) (12 no se divide entre 9 sin un resto, por lo que 9 no es divisor de 12)
    • 12:10 = 1 (2 en el resto) (12 no se divide entre 10 sin un resto, por lo que 10 no es un divisor de 12)
    • 12:11 = 1 (1 resto) (12 no se divide entre 11 sin un resto, por lo que 11 no es divisor de 12)
    • 12: 12 = 1 (12 dividido por 12 sin un resto, de modo 12 es un divisor de 12)
    • Ahora busquemos los divisores del número 9. Para hacer esto, verifique todos los divisores del 1 al 9
    • 9: 1 = 9 (9 dividido por 1 sin resto, por lo que 1 es un divisor de 9)
    • 9: 2 = 4 (1 resto) (9 no se divide entre 2 sin un resto, por lo que 2 no es divisor de 9)
    • 9: 3 = 3 (9 dividido entre 3 sin resto, por lo que 3 es un divisor de 9)
    • 9: 4 = 2 (1 resto) (9 no se divide entre 4 sin un resto, por lo que 4 no es divisor de 9)
    • 9: 5 = 1 (4 en el resto) (9 no se divide entre 5 sin un resto, por lo que 5 no es un divisor de 9)
    • 9: 6 = 1 (3 en el resto) (9 no se divide entre 6 sin un resto, por lo que 6 no es divisor de 9)
    • 9: 7 = 1 (2 resto) (9 no se divide entre 7 sin resto, por lo que 7 no es divisor de 9)
    • 9: 8 = 1 (1 resto) (9 no se divide entre 8 sin un resto, por lo que 8 no es divisor de 9)
    • 9: 9 = 1 (9 dividido entre 9 sin resto, por lo que 9 es un divisor de 9).

    Habiendo escrito los divisores, puede determinar inmediatamente cuál es el más grande y común.

    Por definición, el máximo común divisor de 12 y 9 es el número por el cual 12 y 9 son divisibles sin residuo. El máximo común divisor de 12 y 9 es 3.

    Tanto el número 12 como el número 9 son divisibles por 3 sin dejar residuo:

    12: 3 = 4

    9: 3 = 3

    Entonces MCD (12 y 9) = 3.

    La segunda forma de encontrar MFC

    Ahora veamos la segunda forma de encontrar el máximo factor común. La esencia de este método es descomponer ambos números en factores primos y multiplicar los comunes.

    Ejemplo 1 . Hallar el mcd de los números 24 y 18

    Primero, dividamos ambos números en factores primos:

    encontrar MFC 1

    Ahora multipliquemos sus factores comunes. Para evitar confusiones, se pueden subrayar los factores comunes.

    Observamos la descomposición del número 24. Su primer factor es 2. Buscamos el mismo factor en la descomposición del número 18 y vemos que también está allí. Destacamos ambos dos:

    division 1

    Nuevamente miramos la descomposición del número 24. Su segundo factor también es 2. Buscamos el mismo factor en la descomposición del número 18 y vemos que ya no está allí por segunda vez. Entonces no enfatizamos nada.

    Los dos siguientes en la descomposición del número 24 también están ausentes en la descomposición del número 18.

    Pasamos al último factor en la expansión del número 24. Este es el factor 3. Buscamos el mismo factor en la expansión del número 18 y vemos que también está ahí. Destacamos ambos trillizos:

     factor en la expansión del número

    Entonces, los factores comunes de los números 24 y 18 son los factores 2 y 3. Para obtener el MCD, estos factores deben multiplicarse:

    2 × 3 = 6

    Entonces MCD (24 y 18) = 6.

    La tercera forma de encontrar gcd

    Ahora veamos la tercera forma de encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es que los números que se buscarán para el máximo común divisor se descomponen en factores primos. Luego, los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número se eliminan de la expansión del primer número. Los números restantes en la primera descomposición se multiplican y obtienen el MCD.

    Ejemplo 1 . Calcula el MCD de los números 28 y 16.

    En primer lugar, descomponemos los números 28 y 16 en factores primos:

    Calcula el MCD

    Tenemos dos descomposiciones:    y

    Ahora, de la descomposición del primer número, eliminamos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La descomposición del segundo número no incluye el siete. También lo eliminamos de la primera expansión:

    primera expansión

    Ahora multiplicamos los factores restantes y obtenemos el MCD:

    primera expansión

    4 es el máximo común divisor de 28 y 16. Ambos números son divisibles entre 4 sin dejar residuo:

    28: 4 = 7

    16: 4 = 4

    MCD (28 y 16) = 4

    Encontrar el máximo factor común para varios números

    El máximo factor común se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para esto, los números que se van a buscar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos, luego se encuentra el producto de los factores primos comunes de estos números.

    Minimo común multiplo

    De la lección anterior, sabemos que si un número está completamente dividido por otro, se le llama múltiplo de este número.

    Resulta que los múltiplos pueden ser comunes entre varios números. Y ahora nos interesará un múltiplo de dos números, y debería ser lo más pequeño posible.

    Definición. El mínimo común múltiplo (MCM) de a y b es el menor múltiplo de a y b . En otras palabras, se trata de un número tan pequeño que es divisible por una y b sin un resto .

    La definición contiene dos variables a y b . Sustituyamos dos números cualesquiera por estas variables. Por ejemplo, en lugar de la variable a, sustituya el número 9, y en lugar de la variable b, sustituya el número 12. Ahora intentemos leer la definición:

    El mínimo común múltiplo (MCM) de 9 y 12 es el mínimo común múltiplo de 9 y 12 . En otras palabras, es un número tan pequeño que es divisible por 9 y 12 .

    De la definición se desprende claramente que el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que es divisible sin residuo entre 9 y 12. Este es el mínimo común múltiplo que desea encontrar.

    Hay tres formas de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM). La primera forma es que puede escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre estos múltiplos un número que sea común a ambos números y pequeño. Usemos este método.

    En primer lugar, encuentra los primeros múltiplos de 9. Para encontrar los múltiplos de 9, debes multiplicar este nueve por números del 1 al 9. Las respuestas que obtengas serán múltiplos de 9.

    Vamos a empezar. Destacaremos los múltiplos en azul:

    mínimo común múltiplo

    Ahora encontramos los múltiplos del número 12. Para hacer esto, multiplicaremos alternativamente el número 12 por todos los números del 1 al 12:

    El mínimo común múltiplo

    La segunda forma de encontrar el LCM

    La segunda forma es que los números para los que se busca el mínimo común múltiplo se descomponen en factores primos. Luego, se escriben los factores incluidos en la primera expansión y se agregan los factores faltantes de la segunda expansión. Los factores resultantes se multiplican y obtienen el LCM.

    Apliquemos este método a la tarea anterior. Encuentra el MCM para los números 9 y 12.

    En términos simples, todo se reduce a organizar una nueva descomposición, que incluye ambas descomposiciones a la vez. La factorización del primer número 9 fueron los factores 3 y 3, y la factorización del segundo número 12 fueron los factores 2, 2 y 3.

    Nuestra tarea fue organizar una nueva descomposición que incluiría la descomposición del número 9 y la descomposición del número 12 al mismo tiempo. Para hacer esto, escribimos la descomposición del primer número y agregamos allí los factores de la segunda descomposición, que no estaban en la primera descomposición. Como resultado, obtuvimos una nueva descomposición 3 × 3 × 2 × 2 . No es difícil ver de primera mano que incluye simultáneamente la descomposición del número 9 y la descomposición del número 12.

    La tercera forma de encontrar el LCM

    Existe una tercera forma de encontrar el mínimo común múltiplo. Funciona con la condición de que se busquen dos números y con la condición de que ya se haya encontrado el máximo común divisor de estos números.

    Este método es más razonable de usar cuando necesita encontrar el MCD y el LCM de dos números al mismo tiempo.

    Por ejemplo, suponga que desea encontrar el MCD y el MCM de los números 24 y 12.

     

    Division de fracciones

     

     

    División de polinomios

     

     

    Máximo común divisor

     

     

     

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