Axiomas numeros reales

En matemáticas, para que una afirmación sea considerada válida, debe estar contenida en una base de afirmaciones iniciales, los llamados axiomas, o debe ser probada a partir de ellos. Los axiomas son, por lo tanto, los pilares fundamentales de cada rama de las matemáticas, y de ellos, a través de demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Por lo tanto, los axiomas serán afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por ser una declaración trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no es trivial.

El otro tipo de declaraciones a las que se hace referencia como "afirmación no trivial" son los teoremas, que no son declaraciones tan triviales y a menudo no son muy intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema será llamada corolario. Existen tres tipos de axiomas: los axiomas algebraicos, los axiomas de orden y los axiomas topológicos.

El primero trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata de la noción de continuidad.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se denominan axiomas. Por lo tanto, serán afirmaciones que son aceptadas como verdaderas debido a su trivialidad, y a veces pueden ser demostradas cuando no lo son.

Tambien Puede leer: Los numeros reales

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial" son teoremas, que ya son afirmaciones no tan triviales y a menudo no muy intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema será llamada corolario.

Ampliar Axiom

Este axioma establece que ℝ tiene al menos dos miembros distintos. Utilizaremos este axioma con bastante frecuencia sin hacer ninguna referencia específica a él.

Axioma de campo

Los números reales se combinan mediante dos operaciones fundamentales bien conocidas como suma y multiplicación. Los axiomas a los que obedecen estas operaciones se dan a continuación como leyes de cálculo.

Axiomas de suma

• Ley de cierre: el conjunto ℝ está cerrado bajo operación de adición. Esto significa la suma o suma de dos números reales cualesquiera, es decir , ∈ ℝ ⇒ + ∈ ℝ.
• Derecho asociativo: operaciones de suma en ℝ es asociativo. , , ∈ ℝ ⇒ ( + ) + = + ( + ).
• Existencia de identidad aditiva: hay un número real0(cero) tal que + 0 = 0 + = , ∀ ∈ ℝ.
• Existencia de aditivo inverso: correspondiente a cada ∈ ℝ existe un numero real tal que + = + = 0.
  Las inversas aditivas se conocen más comúnmente como negativas. El numero real arriba se llama el negativo de y escrito como -. Ya que 0 + 0 = 0, por lo tanto 0 es el negativo de sí mismo, es decir 0 = - 0.
• Derecho conmutativo: operaciones de suma enℝ es conmutativo, es decir , ∈ ℝ ⇒ + = + .

Axiomas de multiplicación

• Ley de cierre: el conjunto ℝ está cerrado en operaciones de multiplicación. Esto significa que la multiplicación de dos números reales cualesquiera, es decir , ∈ ℝ ⇒ ∈ ℝ.
• Ley asociativa: operaciones de multiplicación en ℝ es asociativo. , , ∈ ℝ ⇒ ( ) = ( ).
• Existencia de identidad multiplicativa: hay un número real1(uno) tal que ⋅ 1 = 1 ⋅ = , ∀ ∈ ℝ.
• Existencia de inverso multiplicativo: correspondiente a cada ∈ ℝ existe un numero real tal que = = 1.
  Las inversas multiplicativas se conocen más comúnmente como inversas. El numero real anterior se llama el inverso o recíproco de y escrito como 1 / o - 1etc. Desde 1 ⋅ 1 = 1, por lo tanto 1 es el negativo de sí mismo, es decir 1- 1= 1.
• Ley conmutativa: operaciones de multiplicación en ℝ es conmutativo, es decir , ∈ ℝ ⇒ = .
• Leyes distributivas: establece que la multiplicación es distributiva sobre la operación de suma,
  es decir , , ∈ ℝ ⇒ ( + ) = + (Ley distributiva derecha)
  es decir , , ∈ ℝ ⇒ ( + ) = + (Ley distributiva izquierda)

En vista de los axiomas de suma, axiomas de multiplicación y leyes distributivas del conjunto de números reales ℝ se llama campo. El conjunto de números racionales ℚ también es un campo.

Ordenar axiomas de los números reales

Los números reales poseen una relación de ordenamiento. Esta relación la denotamos con el símbolo ">” Que se lee como“ mayor que ”. Los axiomas del orden en ℝ Residencia en ">" son:

• Si , ∈ ℝ, entonces uno y solo uno de los siguientes es verdadero > , = , > .
• Si , , ∈ ℝ y > , > , luego > .
• Si , , ∈ ℝ y > , luego + > + .
• Si , , ∈ ℝ y > , > 0 , luego > .

En vista de los axiomas anteriores, el campo de los números reales ℝ se dice que está ordenado y ℝ se dice que es un campo ordenado. El conjunto de números racionales ℚ también es un campo ordenado.

Los axiomas anteriores se pueden expresar fácilmente en términos de la relación menor que "<" para > ⇔ < .

Cuando escribimos ⩾ significa que > o = . Un significado similar se aplica a ⩽ .

Números reales positivos y negativos: Se dice que un número real es positivo o negativo según >0, o <0.

Denotaremos conjuntos de números reales positivos por ℝ + y ℝ– respectivamente. Por tanto, ℝ = ℝ – ∪ {0} ∪ℝ +. De manera similar, los símbolos ℚ + y ℚ– se utilizarán para denotar los conjuntos de números racionales positivos y negativos, respectivamente. Se dice que dos números reales tienen el mismo signo si ambos pertenecen a ℝ + o ℝ–. Se dice que son de signos opuestos si uno pertenece a ℝ + y el otro a ℝ–.

Siguiendo la convención habitual, si > y > simplemente escribiremos > > y diremos que se encuentra entre y . Si ∈ℝ +, ∈ℝ–, entonces > 0 y <0, es decir, 0> . Por tanto, <0 < implica que 0 se encuentra entre cada dos números reales de signos opuestos y que todo número positivo es mayor que todo número negativo.

Axiomas de los números reales ejemplos: Si , ∈ℝ +, entonces ( + ), ∈ℝ +, y si , ∈ℝ–, entonces ( + ) ∈ℝ–, y ∈ℝ +.

Axiomas de los números reales calculo diferencial

Hay un número finito de teoremas, corolarios y axiomas sobre Cálculo y se pueden impartir en un curso de dos años, dependiendo de lo lejos que desee llegar el profesor y el programa del curso.

Los axiomas de los números reales se clasifican en:

1. Axioma extendido
2. Axioma de campo
3. Axioma de orden
4. Axioma de completitud

Axiomas de la adicción

Es una suma llamada suma del operador simbolizada por "+" y definida en números reales R, entonces decimos que la suma es una composición interna de la ley u operación interna +: R × R → R de tal manera que las componentes del triple (x, y, z) ∈ (R × R) × R cumplen los siguientes axiomas de adición:

Bloque de adición

Para cada par de números x e y que pertenecen a R, hay un solo elemento llamado suma y denotado por x + y que pertenece a R.

∀x, y∈R | x + y∈REsta la ley se conoce como la propiedad lock añadiendo, sin embargo, este axioma está implícito en +: R × R → R, ya que termina siendo una aplicación (o función) y requiere que x + y sea única, para que me entiendas mejor, ver el título Ley de composición interna y el concepto de aplicación en el acordeón.

Derecho Conmutativo de adición

Para cada par de números reales xey, x + y = y + x es verdadero, es decir:

X, y∈R | x + y = y + x Esta ley se llama la propiedad conmutativa de la suma.

Ley de Adición Asociativa

Para cualquier triple de números reales x, yez, (x + y) + z = x + (y + z) se llena, es decir:

X, y, z∈R | (x + y) + z = x + (y + z) A esta ley la llamaremos propiedad asociativa.

Ley de elementos neutros de adición

Para cada número x∈R, hay un número llamado cero y denotado por 0, de tal manera que + 0 = x, es decir....:

∀x∈R ∃! 0∈R | x + 0 = x Esta ley se denominará propiedad del elemento neutro aditivo.

Ley del elemento opuesto a la suma

Para cada número x∈R, hay un solo opuesto denotado por -x tal que x + (- x) = 0, es decir:

∀x∈R ∃ (-x) ∈R | x + (- x) = 0 Esta ley se denominará propiedad del elemento inverso o aditivo inverso.

Axiomas de multiplicación

Es una multiplicación llamada el operador simbolizado por "⋅" (si es un punto) y definido en números reales R, entonces decimos que la multiplicación es una composición interna de la ley o una operación interna tal que los componentes del triple (x, y, z) ∈ (R × R) × R llenan los siguientes axiomas de multiplicación:

Bloque para la multiplicación

Para cada par de números x e y que pertenecen a R, hay un solo elemento llamado producto y denotado por x⋅y que pertenece a R. A partir de ahora, el producto lo escribirá de manera xy.

X, y∈R | xy∈R

Llamaremos a esta propiedad la ley de bloqueo para la multiplicación. Al igual que el funcionamiento interno de la adición, la propiedad del bloqueo se incluye en la propiedad interna.

Derecho consuetudinario de la multiplicación

Para todos los pares de números x e y, xy = yx está lleno, es decir:

X, y∈R | xy = yx

Llamaremos a esta ley la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Ley asociativa para la multiplicación

Para cualquier triple de los números x, y y y z, (xy) z = x (yz) se cumple, en otras palabras:

X, y, zR | (xy) z = x (yz)

Ley del elemento neutro para la multiplicación

Para cada número x∈R, hay un número llamado unidad denotado por 1, de modo que 1 ≠ 0 donde x⋅1 = x, simbólicamente:

∀x∈R ∃! 1∈R | x⋅1 = x

Esta ley se llama la existencia del elemento neutro multiplicativo.

Ley inversa o multiplicativa

Para cada número x ≠ 0, hay un opuesto denotado por 1 / x tal que x (1 / x) = 1, es decir:

∀x∈R ∃ (1 / x) ∈R | x (1 / x) = 1

Llamaremos a esta ley la existencia del elemento opuesto o multiplicador inverso.

Axiomas del derecho distributivo en relación con la suma

Este axioma es ampliamente utilizado para demostrar las excelentes propiedades del producto del curso de álgebra elemental que ya hemos publicado en una sección exclusiva de la escuela secundaria. La propiedad dice:

Para cualquier triple de números reales x, yez es cierto que (x + y) z = xz + yz

Esta ley se llama la propiedad distributiva de la multiplicación en relación con la suma.

Axiomas de orden

Los axiomas del orden establecen una relación de "cantidad" (ver la construcción de los nativos). Esta relación es de mayor o igual tipo. De hecho, cuando se construyen los nativos, se dice que un número es más pequeño que el otro si está contenido en él, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que la de otro.

Para establecer una relación de orden, es necesario insertar el símbolo <\, \! esto nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad, el símbolo = \N - que ya conocemos.

Los axiomas de orden son suficientes para mostrar incluso la tricotomía generalmente clasificada como axiomas entre otros axiomas que presentaremos como teoremas, ver los más importantes:

Teorema 1: 0 <e si y sólo si y∈R ^ +.

Demostración: la demostración es inmediata, tomando la condición 1 de la definición de desigualdad y haciendo x = 0, se comprueba el teorema. Cuando y∈R ^ + decimos que es positivo.

Teorema 2: Si x <0, entonces x∈R ^ -.

Demostración: desde la primera condición de la definición de desigualdad, hacer, tenemos:

x <0↔0-x∈R ^ + ⇔x <0↔x∈R ^ +

Concéntrese en -x∈R ^ +, por la condición 2 de la definición del real positivo, donde sólo ox∈R ^ + ^ + o -x∈R pero como -x∈R ^ + es verdadero, entonces x∈R ^ + es falso o su equivalente x∉R ^ +, aquí jugamos con los conceptos de los conjuntos. A partir de la definición de R negativo real - = R-R-R + - {0}, despejando R + R + R + = R-R medio - {0}, sustituyendo en x∉R ^ +, tenemos:

x∉R-R ^ - {0}

Su equivalente sería:

~ (X∈R-R ^ - {0})

~ (X∈R∧X∈R ^ - + {0})

x∉R∨x∈R ^ - + {0}

x∉R∨x∈R ^ -∨x∈ {0}

Desde el comienzo de la exposición, hemos utilizado la condición ∀x, y∈R | x <y⇔y-x∈R ^ +, donde dice que x∈R entonces su opuesto x∉R está fuera de lugar con la propuesta anterior.

x∈R ^ -∨x∈ {0}

Para hacer que x∉0 recuerde la elección original -x∈R ^+, hay un teorema que demuestra y luego implícito en el campo de axiomas y expuesto y dice -0 = 0, si elegimos x = 0 para la elección, permanece:

∈R D-Se convierte en una contradicción, porque la definición de la verdadera condición positiva que decía 0∉R ^ 3 + que se descarta, entonces la frase x∈R -∨x∈ ^ ax∈R ^ ^ ^} se reduce ^ - ya que x∈ {0} implica que x = 0.

Por lo tanto, se muestra que si x <0 implica que x∈R ^ -. Entonces decimos que x es negativo.

Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

Estos axiomas son, en otro contexto, sección de definiciones de relaciones binarias, pero cuando digo "definiciones" significa que las relaciones binarias no siempre cumplen con estas propiedades, pero para el caso de los números reales, estas propiedades son inevitables e indemostrablemente seguras que veremos:

• Propiedad exclusiva de igualdad

Para todos x, y y y z, o x = y o x y.

X, y∈R | x = y △ x y

El símbolo del triángulo △ se utiliza para representar el único interruptor automático.

• Propiedad reflexiva de la igualdad

Para cada número real x, satisfaga que x = x.

∀x∈R | x = x

Esta ley se llama propiedad reflexiva de los números reales.

• Propiedad simétrica de la igualdad

Para cada par de números reales xey, escriba si x = y, luego y = x.

X, y∈R | x = y⇔y = x

Esta propiedad sirve para elegir el valor con el que trabajar, lo que llamamos ley simétrica.

• Propiedad transitoria de la igualdad

Para cualquier triple de números reales x, yez satisface que sí x = y e y = z, luego x = z.

X, y, z∈R | x = y∧y = z⇔x = z

Muy útil para hacer sustituciones, esta ley se llama propiedad transitiva.

La relación de igualdad simbolizada por "=" definida en los números reales R para las últimas 3 propiedades IV1, IV2 y IV3 mencionadas anteriormente llena lo que llamamos la relación de equivalencia.

• Ley de unicidad de la adición

Para cualquier triple de números reales x, yez, si x = y, entonces x + z = y + z.

X, y, z∈R | x = y⇔x + z = y + z.

Algunos autores (peruanos) tratan de demostrar este axioma, sin embargo, el procedimiento no es tan riguroso como se esperaba, así que decidí tomarlo como un axioma. Podemos llamar a esta ley la unidad de la suma.

• Ley de la unicidad de la multiplicación

Para cualquier número real x, yez, si x = y, entonces xz = yz.

X, y, z∈R | x = y⇔xz = yz

Como en el caso anterior, podemos llamar a esta ley la singularidad de la multiplicación. La razón para llamarlo único es que cualquier valor real que agreguemos a los dos miembros no se vuelve "diferente", es decir, son iguales y únicos.

Axiomas del Supremo

Este axioma dice que:

Cada subconjunto de S ≠ φ, de números reales limitados arriba, tiene un supremo.

También llamado el axioma de la extremidad superior o el axioma de lo completo. No indicamos lo que se entiende por "superiormente limitado" y "supremo", que estaremos en la siguiente sección. Pero vamos a explicar de qué se trata ese axioma.

Los pitagóricos creían que lo racional era la esencia de la realidad, pero en un triángulo descubrieron que 1^2 + 1 ^2 = x ^2, donde x ^2 = 2 no era racional, era fácil mostrar su falta de racionalidad de este resultado asumiendo que x = a / b donde aeb son enteros positivos sin ningún factor común, o como se dice comúnmente, primos entre sí.

Al realizar la sustitución en X^ 2 = 2, siempre hubo un factor en común entre a y b que sugiere que es un par de números a 2k =, donde k es otro número entero, este hecho transformando el número b es también pares, esto implica que los números enteros a y b no son primos entre sí.

Esto mostró que x no era un número real. En álgebra elemental, pudimos encontrar otras situaciones, como x ^ 3 = 5 o x ^ 2 = 2/5, donde era fácil mostrar cómo en el caso anterior que x no era racional.

Mucho menos si tratamos de encontrar una solución de la ecuación 〖10〗 ^ x = 7, si dejamos x = a / b para b, resultando 〖10〗 ^ a = 7 ^ b, lo cual es absurdo, por lo tanto, sólo es posible la igualdad de ecuaciones exponenciales de exponente entero con bases iguales, entre otros ejemplos similares.